Ömer elindeki tüm 1 TL’leri kullanarak her bir sırada sıra numarası kadar 1 TL olan yukarıdaki para piramidini oluşturuyor. Bir kalem almak isteyen Ömer bu piramitten belirli ardışık 3 sıradaki paraları kaldırdığında kalan paraların toplamının kalemin fiyatına eşit olduğunu görüyor. Aynı işlemi belirli ardışık 4 sıradaki veya belirli ardışık 5 sıradaki paraları kaldırarak da denediğinde yine kalan paraların toplamının kalemin fiyatına eşit olduğunu görüyor.
Buna göre kalemin fiyatının rakamları toplamı kaçtır?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
Para Piramidi ve Kalem Fiyatı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- 1’den n’ye kadar olan ardışık sayıların toplamı:\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
- Ardışık sayıların toplamı: Terim Sayısı \times Ortanca Terim
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Piramitteki Toplam Para Miktarını Bulma
Piramitte 1’den 20. sıraya kadar, her sırada sıra numarası kadar 1\text{ TL} bulunmaktadır. Dolayısıyla toplam para:
T = 1 + 2 + 3 + \dots + 20 = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210\text{ TL}
Adım 2 — Kaldırılan Para Miktarının Bağıntılarını Kurma
Piramitten kaldırılan paralar çıkarıldığında geriye kalan miktar her durumda kalemin fiyatına (K) eşit olduğuna göre, her üç durumda da kaldırılan toplam para miktarı (S) birbirine eşit olmalıdır:
K = 210 - S
Kaldırılan sıraları modelleyelim:
-
Ardışık 3 sıra: Başlangıç sırası a olsun (a, a+1, a+2).
S = a + (a+1) + (a+2) = 3a + 3 = 3(a+1)(Bu durum S’nin 3’ün tam katı olduğunu gösterir.)
-
Ardışık 4 sıra: Başlangıç sırası b olsun (b, b+1, b+2, b+3).
S = b + (b+1) + (b+2) + (b+3) = 4b + 6(Bu durum S - 6’nın 4’ün tam katı olduğunu, yani S \equiv 2 \pmod 4 olduğunu gösterir.)
-
Ardışık 5 sıra: Başlangıç sırası c olsun (c, c+1, c+2, c+3, c+4).
S = c + (c+1) + (c+2) + (c+3) + (c+4) = 5c + 10 = 5(c+2)(Bu durum S’nin 5’in tam katı olduğunu gösterir.)
Adım 3 — S Değerini Belirleme
- S sayısı hem 3’ün hem de 5’in katı olduğundan, \text{EKOK}(3, 5) = 15’in bir tam katı olmalıdır (S = 15, 30, 45, 60, \dots).
- Piramitte en fazla 20 sıra bulunduğundan, 3 ardışık sıranın alabileceği maksimum toplam:18 + 19 + 20 = 57\text{ TL}Dolayısıyla S \le 57 olmalıdır.
- 15’in 57’den küçük pozitif katlarını test edelim:
- S = 15 \implies 4b + 6 = 15 \implies 4b = 9 (Tam sayı değil)
- S = 30 \implies 4b + 6 = 30 \implies 4b = 24 \implies b = 6 (Sağlar!)
- S = 45 \implies 4b + 6 = 45 \implies 4b = 39 (Tam sayı değil)
Buradan kaldırılan toplam para miktarının S = 30\text{ TL} olduğu bulunur:
- a = 9 \implies 9 + 10 + 11 = 30
- b = 6 \implies 6 + 7 + 8 + 9 = 30
- c = 4 \implies 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30
Adım 4 — Kalemin Fiyatını ve Rakamları Toplamını Hesaplama
Kalemin fiyatı:
K = 210 - 30 = 180\text{ TL}
Kalemin fiyatının rakamları toplamı:
1 + 8 + 0 = 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bölünebilme ve Modüler Aritmetik: Birden fazla koşulu sağlayan ortak kat problemlerinde aralık kısıtlamalarını kullanarak olası değerleri sınırlandırma mantığı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sıralardaki paraları sıra numarasıyla çarpmak (örneğin 2. sırada 2 \times 2 = 4\text{ TL} olduğunu varsaymak).- Doğru Yaklaşım: Soruda belirtildiği üzere her sırada sıra numarası kadar 1 TL’lik madeni para vardır; yani n. sırada doğrudan n\text{ TL} bulunur.
Bu soru tipinde terim sayısı ve kalan ilişkisi üzerine benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?