Olup vektörlerin bileşkesi sıfirdır

LİSE
1
  1. Aynı düzlemdeki K, L. M ve N vektörleri şekildeki gibi
    olup vektörlerin bileşkesi sıfirdır.
    -----na
    –+X
    K ve L vektörlerinin büyüklükleri eşit olduğuna göre,

M =N ise a= 0'dir.

I. a<0 ise N>M’dir.
IL. M>N ise @> a’dir.
yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız I|
D) I ve Il
E) I ve ll
C) Yalnız ll|

Aynı düzlemdeki K, L.
Aynı düzlemdeki K, L.800×1010 70.7 KB

2

Vektörlerin Bileşkesi ve Denge Durumu Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bileşke vektörün sıfır olması (\vec{R} = 0), hem yatay (x) hem de düşey (y) eksenlerdeki kuvvetlerin toplamının sıfır olması demektir:

  • \sum F_x = 0 \Rightarrow L = M \cdot \cos(\alpha) + N \cdot \sin(\theta)
  • \sum F_y = 0 \Rightarrow K = M \cdot \sin(\alpha) + N \cdot \cos(\theta)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilenleri Tanımlama
Soruda |\vec{K}| = |\vec{L}| olduğu belirtilmiştir. Buna F diyelim. Vektörleri bileşenlerine ayırdığımızda denge denklemleri şöyledir:

  1. Yatay denge: F = M \cos(\alpha) + N \sin(\theta)
  2. Düşey denge: F = M \sin(\alpha) + N \cos(\theta)

Adım 2 — Denklemlerin Eşitlenmesi
Her iki ifade de F’ye eşit olduğu için:
M \cos(\alpha) + N \sin(\theta) = M \sin(\alpha) + N \cos(\theta)
M(\cos \alpha - \sin \alpha) = N(\cos \theta - \sin \theta)

Adım 3 — Birinci Yargının Analizi (|\vec{M}| = |\vec{N}| ise \alpha = \theta mıdır?)
Eğer M = N ise denklemin sağlanması için (\cos \alpha - \sin \alpha) = (\cos \theta - \sin \theta) olmalıdır. Bu durum ancak \alpha = \theta olduğunda matematiksel olarak kesinleşir. Dolayısıyla I. yargı doğrudur.

Adım 4 — İkinci Yargının Analizi (\alpha < \theta ise |\vec{N}| > |\vec{M}| midir?)
Açılar küçüldükçe kosinüs değeri artar, sinüs değeri azalır. \alpha < \theta durumunda (\cos \alpha - \sin \alpha) değeri, (\cos \theta - \sin \theta) değerinden daha büyük olur. Eşitliğin korunması için büyük çarpanın yanındaki M değeri daha küçük, küçük çarpanın yanındaki N değeri daha büyük olmalıdır (M < N). Dolayısıyla II. yargı doğrudur.

Adım 5 — Üçüncü Yargının Analizi (|\vec{M}| > |\vec{N}| ise \theta > \alpha mıdır?)
M > N olması için, M’nin yanındaki çarpanın daha küçük olması gerekir. Yani (\cos \alpha - \sin \alpha) < (\cos \theta - \sin \theta) olmalıdır. Bu ise \alpha açısının \theta açısından daha büyük olmasıyla mümkündür (\alpha > \theta). Yargıda belirtilen \theta > \alpha ifadesi bu durumla çelişir. Dolayısıyla III. yargı yanlıştır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Bileşke Vektör

  • Tanım: Bir cisme etki eden tüm vektörlerin toplam etkisidir.
  • Bu problemde: Bileşke sıfır olduğu için sistem statik denge halindedir.

2. Vektör Bileşenleri

  • Tanım: Bir vektörün dik koordinat düzlemindeki izdüşümleridir.
  • Bu problemde: M ve N vektörlerinin x ve y bileşenleri, K ve L vektörlerini dengelemektedir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Açıların Karıştırılması

  • Yanlış: \alpha ve \theta açılarının her ikisini de aynı eksenle yapılan açı olarak almak.
  • Doğru: Şekle dikkat edilirse \alpha yatay (x) eksenle, \theta ise düşey (-y) eksenle yapılan açıdır. Bu yüzden bileşen ayırmada \sin ve \cos fonksiyonları yer değiştirir.

Benzer bir denge sorusu üzerinden açı-vektör büyüklüğü ilişkisini pekiştirmek ister misin?