Olud inio RÖRNEK-13 1 integralinin eşitini bulunuz

YKS TYT
1

olud inio RÖRNEK-13 1 integralinin eşitini bulunuz. 2. X X 3 1

!Resim [Link Silindi]

2

Olud inio RÖRNEK-13 1 integralinin eşitini bulunuz

Önemli Noktalar

  • Verilen integral ifadesi, ayrı ayrı terimlere ayrılarak kolayca integral alınabilir
  • Kuvvet ve kök ifadeleri üs kurallarına göre sadeleştirilir
  • Her terim için integral formülü kullanılarak sonuç elde edilir

Verilen integral:

\int \left( \frac{2\sqrt{x}}{2x^{3/2}} - \frac{1}{x^{-1}} + \frac{1}{x^3} \right) dx

ifadeyi basitleştirilip her terimin integrali alınarak eşiti bulunur.

İçindekiler

  1. İfadenin Basitleştirilmesi
  2. Integrallerin Hesaplanması
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

1. İfadenin Basitleştirilmesi

İçerideki terimleri üs kurallarıyla sadeleştirelim.

  • İlk terim:
    2 \sqrt{x} = 2x^{1/2} ve payda 2x^{3/2}

    \frac{2x^{1/2}}{2x^{3/2}} = \frac{2}{2} x^{1/2 - 3/2} = x^{-1}

  • İkinci terim:

    -\frac{1}{x^{-1}} = - x^{1} = -x

  • Üçüncü terim:

    \frac{1}{x^3} = x^{-3}

Yani integralimiz:

\int \left( x^{-1} - x + x^{-3} \right) dx

:light_bulb: Pro Tip: Negatif üsleri hesaplarken, üslerin çıkarılması ve işaretlerin doğru alınması integral pratiğinde sık karşılaşılan bir adımdır.

2. Integrallerin Hesaplanması

Her terimin integralini ayrı alalım. Belirli integral değilse sonuçlara +C eklenir.

  • \int x^{-1} dx = \ln|x|

  • \int -x \, dx = -\frac{x^2}{2}

  • \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^{2}}

Bunları toplayalım:

\int \left( x^{-1} - x + x^{-3} \right) dx = \ln|x| - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2x^{2}} + C

Özet Tablo

Adım Sonuç
Basitleştirme x^{-1} - x + x^{-3}
Integral $\ln

Sık Sorulan Sorular

1. Neden x^{-1} in integrali logaritma olarak alınır?
x^n ifadesinin integrali \frac{x^{n+1}}{n+1} formülü ile alınırken n=-1 için bu formül geçersizdir ve integral \ln|x| olarak hesaplanır.

2. Neden bazı terimlerin integralinde üs artar bazılarında ise eksi işaret var?
Integral alırken üs bir artar ancak eksi işareti fonksiyonun önünde varsa sonuçta korunur. Ayrıca negatif üsler için işlem yapılırken dikkat edilmelidir.

3. C nedir?
C sabit integral sabitidir; sadece belirsiz integrallerde bulunur.

Sonraki Adımlar

İsterseniz benzer integral problemleri için uygulamalı çözüm yöntemleri ve farklı üs kombinasyonları içeren örnekler hazırlayabilirim. Denemek ister misiniz?

@Mr.Yasin

3

Soru: Örnek-13’te verilen aşağıdaki belirsiz integrali bulunuz

∫(2√x / (2x²) − 1/x² + 1/x³) dx

Ana Hatırlatmalar

  • Sabit çarpan integrale sabit olarak dışarı çıkar.
  • Güç kuralı: n\neq -1 için \displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
  • n=-1 durumunda \displaystyle \int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C.

Doğrudan Cevap

\displaystyle \int\Bigl(\frac{2\sqrt{x}}{2x^2}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\Bigr)dx = -2x^{-\tfrac12} + x^{-1} - \tfrac12\,x^{-2} + C.

İçindekiler

  1. Ana Çözüm
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Ana Çözüm

İfade önce güç fonksiyonlarına dönüştürülür, sonra güç kuralı uygulanır:

\frac{2\sqrt{x}}{2x^2} = x^{\tfrac12-2}=x^{-\tfrac32},\quad -\frac1{x^2}=-x^{-2},\quad \frac1{x^3}=x^{-3}.

Bunları tek tek entegre edersek:

\int x^{-\tfrac32}dx = -2x^{-\tfrac12},\quad \int(-x^{-2})dx = +x^{-1},\quad \int x^{-3}dx = -\tfrac12\,x^{-2}.

Toparlayarak

\boxed{-2x^{-\tfrac12} + x^{-1} - \tfrac12\,x^{-2} + C.}

2. Adım Adım Çözüm

  1. Sadelestirme:
    \displaystyle \frac{2\sqrt{x}}{2x^2}=\sqrt{x}\,/\,x^2=x^{-\tfrac32}.
  2. Güç kuralını hatırla:
    \displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1).
  3. Her terimi uygula:
    • \displaystyle \int x^{-\tfrac32}dx = \frac{x^{-\tfrac12}}{-\tfrac12} = -2x^{-\tfrac12}.
    • \displaystyle \int(-x^{-2})dx = -\frac{x^{-1}}{-1}= +x^{-1}.
    • \displaystyle \int x^{-3}dx = \frac{x^{-2}}{-2}= -\tfrac12\,x^{-2}.
  4. Topla ve sabit ekle:
    \displaystyle -2x^{-\tfrac12} + x^{-1} - \tfrac12\,x^{-2} + C.

3. Özet Tablosu

Terim güç (n) \displaystyle \int x^n\,dx
x^{-\tfrac32} –3/2 -2x^{-\tfrac12}
-x^{-2} –2 +x^{-1}
x^{-3} –3 -\tfrac12\,x^{-2}

4. SSS

S1. Güç kuralı hangi durumda geçersizdir?
A1. n=-1 olduğunda \int x^{-1}dx=\ln|x|+C formülü kullanılır.

S2. Sabit çarpan integrale nasıl etki eder?
A2. \displaystyle \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.

S3. Negatif üsleri entegralde nasıl kullanırım?
A3. $x^{-k}’nın integrali \displaystyle \frac{x^{-k+1}}{-k+1}$ (k≠1) formülüyle bulunur.

Bu çözümü pekiştirmek için 3 benzer integral ister misiniz?
@Mr.Yasin