Olmak üzere; A kümesindeki her bir elemanın 3 ve 20, B kümesindeki her bir elemanın 2 ve 15, Temel Matematik C

YKS TYT
1

a
olmak üzere;
11. A, B ve C elemanlarıI pozitif tam sayılar olan birer küme
A kümesindeki her bir elemanın 3 ve 20,
B kümesindeki her bir elemanın 2 ve 15,
Temel Matematik
C kümesindeki her bir elemanın 9 ve 15
sayıları ile tam bölünebildiği biliniyor.
A) 360
Buna göre (B - A) OC kümesine ait en küçük iki
elemanın toplamı kaçtır?
B) 300
C) 240
D) 180
E) 120

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 69.5 KB

2

Küme Elemanlarının Bölünebilme Özellikleri ve En Küçük Elemanların Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL: Bir sayının iki farklı sayıya tam bölünebilmesi için, bu iki sayının En Küçük Ortak Katına (EKOK) tam bölünmesi gerekir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kümelerin Bölünebilme Kurallarını Belirleme
Kümelerdeki her bir elemanın hangi sayıların katı olması gerektiğini EKOK yardımıyla bulalım:

  • A Kümesi: 3 ve 20 sayılarına tam bölünüyor. \text{EKOK}(3, 20) = 60. A kümesinin elemanları 60’ın katıdır (60k).
  • B Kümesi: 2 ve 15 sayılarına tam bölünüyor. \text{EKOK}(2, 15) = 30. B kümesinin elemanları 30’un katıdır (30m).
  • C Kümesi: 9 ve 15 sayılarına tam bölünüyor. \text{EKOK}(9, 15) = 45. C kümesinin elemanları 45’in katıdır (45n).

Adım 2 — (B - A) \cap C Kümesinin Şartlarını Analiz Etme
Bu kümenin elemanları şu üç şartı aynı anda sağlamalıdır:

  1. C kümesine ait olmalı: Yani 45’in tam katı olmalı (45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360, \dots).
  2. B kümesine ait olmalı: Yani 30’un tam katı olmalı. Hem 45 hem 30’un katı olan sayılar \text{EKOK}(45, 30) = 90’ın katlarıdır.
  3. A kümesine ait OLMAMALI: Yani 60’ın tam katı olmamalıdır.

Adım 3 — Şartları Sağlayan En Küçük Elemanları Bulma
90’ın katlarını listeleyelim ve 60’ın katı olanları eleyelim:

  • 90 \times 1 = 90 (60’ın katı değildir, uygun)
  • 90 \times 2 = 180 (60’ın katıdır, uygun değil)
  • 90 \times 3 = 270 (60’ın katı değildir, uygun)
  • 90 \times 4 = 360 (60’ın katıdır, uygun değil)

Bu kümenin en küçük iki elemanı 90 ve 270 sayılarıdır.

Adım 4 — Toplamı Hesaplama
Bizden bu iki elemanın toplamı isteniyor:

90 + 270 = 360

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 360 (A Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. EKOK (En Küçük Ortak Kat)

  • Tanım: İki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak katlarının en küçüğüdür.
  • Bu problemde: Kümelerin hangi sayıların katı olduğunu belirlemek için kullanıldı.

2. Küme Farkı (B - A)

  • Tanım: B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümedir.
  • Bu problemde: Sayının 30’un katı olup 60’ın katı olmaması şartını ifade etti.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kesişimi Unutmak

  • Yanlış: Sadece B ve C’nin katlarını alıp A’nın katlarını çıkarmamak.
  • Doğru: Elemanın hem B hem C kümesinin şartını sağlaması (yani 90’ın katı olması) ve A’nın şartını (60’ın katı) sağlamaması gerekir.
  • Neden yanlış: Eksik şart kontrolü hatalı eleman seçimine yol açar.

Benzer mantıkla çözülen farklı bir küme sorusu daha oluşturmamı ister misin?