olimpiyat sorusu 2. Kaç farklı n pozitif tam sayısı için, n sayısının basamaklarının çarpımı
2n- 276 olur?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
n Sayısının Basamakları Çarpımının 2n - 276 Olmasını Sağlayan n Değerleri
KULLANILAN FORMÜL VE ÖZELLİKLER:
- k basamaklı bir n sayısının basamakları çarpımı P(n) olmak üzere; her pozitif tam sayı için 0 \le P(n) \le n eşitsizliği geçerlidir.
- Üç basamaklı bir sayı için n = 100a + 10b + c ve P(n) = a \cdot b \cdot c şeklinde ifade edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — n Sayısının Değer Aralığını Belirleme
P(n), n sayısının basamakları çarpımı olsun. Basamaklar birer rakam olduğundan çarpımları negatif olamaz:
P(n) \ge 0 \implies 2n - 276 \ge 0 \implies 2n \ge 276 \implies n \ge 138
Ayrıca basamaklar çarpımı sayının kendisinden büyük olamaz (P(n) \le n):
2n - 276 \le n \implies n \le 276
Buradan n sayısının 138 \le n \le 276 aralığında 3 basamaklı bir sayı olduğu görülür.
Adım 2 — n = \overline{1bc} Durumunu İnceleme (a = 1)
n = 100 + 10b + c ve P(n) = 1 \cdot b \cdot c = bc olur. Verilen denklemde yerine yazalım:
bc = 2(100 + 10b + c) - 276
bc = 200 + 20b + 2c - 276
bc = 20b + 2c - 76
Tüm terimleri sol tarafa toplayıp çarpanlarına ayıralım:
bc - 20b - 2c = -76
b(c - 20) - 2(c - 20) - 40 = -76
(b - 2)(c - 20) = -36 \implies (b - 2)(20 - c) = 36
n \ge 138 olduğundan b \ge 3 olmalıdır. b ve c birer rakam (0 \le b, c \le 9) olduğu için:
- 1 \le b - 2 \le 7
- 11 \le 20 - c \le 20
Çarpımları 36 olan uygun çarpan çiftlerini inceleyelim:
- b - 2 = 2 \implies b = 4 için:20 - c = 18 \implies c = 2Bu durumda n = 142 bulunur (142 \ge 138 şartını sağlar).
- b - 2 = 3 \implies b = 5 için:20 - c = 12 \implies c = 8Bu durumda n = 158 bulunur (158 \ge 138 şartını sağlar).
Adım 3 — n = \overline{2bc} Durumunu İnceleme (a = 2)
n = 200 + 10b + c ve P(n) = 2bc olur:
2bc = 2(200 + 10b + c) - 276
2bc = 400 + 20b + 2c - 276
2bc = 20b + 2c + 124
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
bc = 10b + c + 62
bc - 10b - c = 62
b(c - 10) - 1(c - 10) - 10 = 62
(b - 1)(c - 10) = 72 \implies (1 - b)(10 - c) = 72
n \le 276 olduğundan b \le 7 ve dolayısıyla 1 - b \le 1’dir. c bir rakam olduğundan 10 - c \le 10’dur. İki pozitif tam sayının çarpımı 72 olamaz çünkü 1 - b en fazla 1 olabilirken 10 - c en fazla 10 olabilir (1 \times 10 = 10 < 72). Bu durumda çözüm yoktur.
Adım 4 — Seçenek Karşılaştırması
A. 0 — Yanlış, denklemi sağlayan 2 farklı n değeri (142 ve 158) vardır.
B. 1 — Yanlış, 2 farklı kök bulunmaktadır.
C. 2 — Doğru, n = 142 ve n = 158 olmak üzere 2 pozitif tam sayı vardır.
D. 3 — Yanlış, başka çözüm kümesi bulunmamaktadır.
E. 4 — Yanlış.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (2)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basamaklar Çarpımı Eşitsizliği
- Tanım: Bir n tam sayısının basamakları çarpımı P(n), sayının kendisini (n) asla geçemez (P(n) \le n).
- Bu problemde: Bu eşitsizlik sayesinde n sayısının üst sınırı n \le 276, alt sınırı ise n \ge 138 olarak sınırlandırılmış ve 3 basamaklı olduğu kesinleşmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
n Sayısının Basamak Sayısını Sınırlandırmamak
- Yanlış: n’nin basamak sayısını bilmeden doğrudan deneme-yanılma yapmak.
- Doğru: 0 \le P(n) \le n eşitsizliklerini kurarak 138 \le n \le 276 aralığını tespit edip sadece 3 basamaklı durumları incelemek.
- Neden yanlış: Sayı aralığı sınırlandırılmazsa sonsuz aralıkta arama yapmak gerekir ve çözüm imkansızlaşır.
Benzer mantıkla çözülen bir başka basamak analizi veya olimpiyat sorusu çözmemi ister misiniz?
@sorumatik_uzman_bot doğru cevap süpersin
Rica ederim, faydalı olmasına sevindim!
Basamak analizi, modüler aritmetik veya benzer tipte eşitsizlik içeren başka bir olimpiyat sorusuyla pratik yapmaya devam etmek ister misiniz?
Rica ederim, faydalı olmasına çok sevindim!
Benzer düzeyde farklı bir sayı basamakları veya sayılar teorisi olimpiyat sorusuyla pratik yapmaya devam etmek ister misiniz, yoksa başka bir konuya mı geçelim?