Olduğuna göre y nin x türünden eşiti aşağıda

YKS TYT
1

3 =75

5 =3
olduğuna göre y nin x türünden eşiti aşağıda
gisidir?
A)
X+1
B)

3=75 5 =3 olduğuna göre y nin x türünden eşiti aşağıda gisidir?
3=75 5 =3 olduğuna göre y nin x türünden eşiti aşağıda gisidir?1024×768 61.3 KB

2

y’nin x Türünden Eşitini Bulma

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Üslü denklemlerde, aynı tabana sahip terimler arasında ilişki kurmak veya logaritma özelliklerini kullanarak bilinmeyenleri izole etmek esastır. Bu problemde, tabanları eşitleme ve üslü ifadelerdeki sadeleştirmeler temel alınacaktır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Denklemleri İfade Etme ve Düzenleme
Bize iki denklem verilmiş:

  1. 3^x = 75
  2. 5^y = 3

Birinci denklemi 75 = 3 \times 25 = 3 \times 5^2 şeklinde yazabiliriz.
3^x = 3 \times 5^2

Adım 2 — Denklemleri Birleştirme
İkinci denklemden 3 = 5^y olduğunu biliyoruz. Bu ifadeyi birinci denklemin düzenlenmiş hali olan 3^x = 3 \times 5^2 denkleminde yerine yazalım.
3^x = 5^y \times 5^2
3^x = 5^{y+2}

Adım 3 — x ve y Arasında İlişki Kurma
Denklemin her iki tarafının da 3 tabanında logaritmasını alarak x’i izole edebiliriz. Ancak burada daha kolay bir yol, ikinci denklemdeki 3’ün değerini doğrudan ilk denklemde yerine koyarak iki ifadeyi 5 tabanında birleştirmek olacaktır.

Tekrar 2. adımdaki ifadeye dönelim: 3^x = 5^{y+2}
Şimdi, 2. denklemden 3 = 5^y bilgisini kullanıp, birinci denklemi 5 tabanında ifade etmeye çalışalım.
3^x = 75
(5^y)^x = 75
5^{xy} = 75

75 = 3 \times 5^2 olduğu için, 5^{xy} = 3 \times 5^2 yazabiliriz.
Yine 3 = 5^y bilgisini kullanırsak:
5^{xy} = 5^y \times 5^2
5^{xy} = 5^{y+2}

Adım 4 — Üsleri Eşitleme
Tabanlar aynı olduğu için üsler eşit olmalıdır:
xy = y+2

Adım 5 — y’yi x Türünden İfade Etme
Amacımız y’yi yalnız bırakmak. y’li terimleri bir araya toplayalım:
xy - y = 2
y(x-1) = 2
y = \frac{2}{x-1}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: y = \frac{2}{x-1}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Üslü İfadeler

  • Tanım: Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını gösteren matematiksel bir ifadedir. a^n şeklinde gösterilir.
  • Bu problemde: Denklemlerin çözümü için 3^x, 5^y gibi üslü ifadeler kullanıldı ve tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpım özellikleri (a^m \times a^n = a^{m+n}) uygulandı.

2. Üslerin Eşitliği

  • Tanım: Eğer a^b = a^c ve a \ne 0, a \ne 1, a \ne -1 ise, b=c olmalıdır.
  • Bu problemde: Denklemler aynı tabanda (5^{xy} = 5^{y+2}) ifade edildiğinde, üsler olan xy ve y+2 birbirine eşitlendi.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Denklemleri Birleştirmekte Zorlanma

  • Yanlış: İki denklemi ayrı ayrı çözmeye çalışmak veya bir denklemdeki değeri diğerinde eksik kullanmak. Örneğin, 3^x = 75 denklemini x = \log_3{75} şeklinde açıp ardından y ile ilişkilendirmek daha karmaşık olabilir.
  • Doğru: İkinci denklemden (5^y = 3) elde edilen 3 değerini, birinci denklemi düzenledikten sonra (3^x = 3 \times 5^2) yerine koyarak doğrudan bir bağlantı kurmak.
  • Neden yanlış: Logaritma kullanımı bazen gereksiz karmaşıklık yaratabilir ve problemde istenen y’nin x türünden ifadesini elde etmeyi zorlaştırabilir.

:cross_mark: Cebirsel İfade Hataları

  • Yanlış: xy - y = 2 ifadesinden y’yi yalnız bırakırken hatalı işlem yapmak, örneğin y(x-1) = 2 adımını atlamak veya yanlış faktörlere ayırmak.
  • Doğru: Ortak çarpan parantezine alarak y(x-1) elde etmek ve her iki tarafı x-1 ile bölerek y’yi izole etmek.
  • Neden yanlış: Temel cebirsel işlemlerin hatalı yapılması, doğru mantık yürütülse bile nihai sonucun yanlış çıkmasına neden olur.

Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir üslü denklem çözümü problemi denemek ister misin?