matematik gerçek sayılar
x ve y pozitif tam sayılar
3x - 4y = 121
olduğuna göre, x’in alabileceği en küçük 2. değer kaçtır?
A) 43
B) 47
C) 46
D) 44
E) 45
İki Bilinmeyenli Lineer Diyafant Denklemi Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
ax - by = c biçimindeki denklemlerde tam sayı çözümleri bulunurken, değişkenlerden biri b kadar artarken diğeri a kadar artar (x, y \in \mathbb{Z}^+).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemi x Değişkenine Göre Düzenleme
x’in değerlerini incelemek için 3x ifadesini yalnız bırakalım:
3x = 121 + 4y \implies x = \frac{121 + 4y}{3}
Adım 2 — y’nin Alabileceği Pozitif Tam Sayı Değerlerini Bulma
x’in bir tam sayı olması için 121 + 4y toplamı 3’ün katı olmalıdır:
- 121 sayısının 3’e bölümünden kalan 1’dir.
- 4y sayısının 3’e bölümünden kalan y’dir.
- Toplamın 3’e tam bölünmesi için: 1 + y ifadesi 3’ün katı olmalıdır (y \equiv 2 \pmod 3).
x ve y pozitif tam sayılar (y \ge 1) olduğundan y’nin alabileceği en küçük değerler sırasıyla:
y \in \{2, 5, 8, 11, \dots\}
Adım 3 — x’in 1. ve 2. En Küçük Değerlerini Hesaplama
-
1. En Küçük Değer (y = 2 için):
3x = 121 + 4(2) = 129 \implies x_1 = 43 -
2. En Küçük Değer (y = 5 için):
3x = 121 + 4(5) = 141 \implies x_2 = 47
(Pratik Yol: İlk değer olan 43 bulunduktan sonraki x değerleri, y’nin katsayısı kadar yani 4’er 4’er artar: 43 \xrightarrow{+4} 47 \xrightarrow{+4} 51 \dots)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B — 47
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bölünebilme & Diyafant Denklemi: Tam sayı kısıtlaması olan iki bilinmeyenli denklemlerde, bölünebilme kuralları ve katsayılar arası artış düzeni kullanılarak ardışık değerler kolayca türetilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Soruda “en küçük 2. değer” istendiği halde aceleyle bulunan ilk değer olan 43’ü (A şıkkı) işaretlemek.- Doğru Yaklaşım: İlk geçerli pozitif çözümden sonraki adımı (y = 5 için x = 47) hesaplamak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?