- X, y ve z pozitif tam sayılardır.
X+5y + 4z = 41
olduğuna göre, x +y+z toplamı kn çok kaçtır?
x + 5y + 4z = 41 Eşitliğinde x + y + z Toplamının En Büyük Değeri
KULLANILAN KURAL / YÖNTEM:
Doğrusal bir eşitlikte toplamın (x + y + z) en büyük (maksimum) değerini bulmak için katsayısı büyük olan değişkenlere en küçük pozitif tam sayı değerleri verilir, böylece katsayısı en küçük olan değişkene (x) en büyük değer kalır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İstenen İfadeyi Düzenleme
Verilen denklemden x yalnız bırakılır:
x = 41 - 5y - 4z
İstenen x + y + z ifadesinde x yerine bu eşitlik yazılır:
x + y + z = (41 - 5y - 4z) + y + z
x + y + z = 41 - 4y - 3z
Adım 2 — Değişkenlerin En Küçük Değerlerini Belirleme
x + y + z toplamının en çok olması için çıkarılan 4y + 3z ifadesinin en küçük olması gerekir.
x, y, z birer pozitif tam sayı (\mathbb{Z}^+) olduğundan verilebilecek en küçük değer 1’dir:
- y = 1
- z = 1
Adım 3 — x Değerini Hesaplama
Belirlenen y ve z değerleri ana denklemde yerine yazılır:
x + 5 \cdot (1) + 4 \cdot (1) = 41
x + 5 + 4 = 41
x + 9 = 41
x = 41 - 9 = 32
(x = 32 pozitif bir tam sayıdır ve koşulu sağlar.)
Adım 4 — Maksimum Toplamı Hesaplama
Bulunan değerler toplanır:
x + y + z = 32 + 1 + 1 = 34
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 34
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pozitif Tam Sayılar (\mathbb{Z}^+)
- Tanım: 1’den başlayıp sonsuza giden tam sayılar kümesidir (\{1, 2, 3, \dots\}). Sıfır (0) pozitif bir tam sayı değildir.
- Bu problemde: y ve z değerlerine en az 1 verilmesinin sebebi soruda pozitif tam sayı olarak belirtilmesidir.
2. Katsayı-Büyüklük İlişkisi
- Tanım: Bir toplamı büyütmek için büyük katsayılı terimler küçültülmeli, küçük katsayılı terimler büyütülmelidir.
- Bu problemde: y’nin katsayısı 5, z’nin katsayısı 4 ve x’in katsayısı 1 olduğu için y ve z’ye en küçük değerler atanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
y veya z’ye 0 Değeri Vermek
- Yanlış: y = 0 ve z = 0 alıp x = 41 bularak x + y + z = 41 demek.
- Doğru: x, y, z \in \mathbb{Z}^+ olduğu için y \ge 1 ve z \ge 1 seçilmelidir.
- Neden yanlış: 0 sayısı bir pozitif tam sayı değil, nötr bir tam sayıdır.
x, y, z’yi Birbirinden Farklı Almak
- Yanlış: Soruda “farklı pozitif tam sayılar” demediği halde y = 1, z = 2 seçmek.
- Doğru: “Farklı” şartı verilmediği sürece y = z = 1 alınabilir.
- Neden yanlış: Gereksiz yere kısıtlama eklemek toplamın alabileceği en büyük değeri küçültür.
Bu tip temel kavram ve katsayı sorularını pekiştirmek için sorunun “en az kaçtır?” veya “x, y, z birbirinden farklı” versiyonunu da birlikte çözmemi ister misin?