2^x = 81
3^y = 128
5^z = 343
olduğuna göre x , y ve z sayılarının büyükten küçüğe doğru sıralanışını bulunuz.
@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Üslü İfadelerde Aralık Belirleme ve Sıralama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Tabanı 1’den büyük olan üslü ifadelerde üs arttıkça sayının değeri de artar.
a > 1 \text{ ve } a^m < a^k < a^n \implies m < k < n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x Değerinin Aralığını Belirleme
2^x = 81 eşitliğinde 81 sayısının 2’nin hangi ardışık kuvvetleri arasında olduğunu bulalım:
2^6 = 64
2^7 = 128
64 < 81 < 128 \implies 2^6 < 2^x < 2^7
Buradan:
6 < x < 7
Adım 2 — y Değerinin Aralığını Belirleme
3^y = 128 eşitliğinde 128 sayısının 3’ün hangi ardışık kuvvetleri arasında olduğunu bulalım:
3^4 = 81
3^5 = 243
81 < 128 < 243 \implies 3^4 < 3^y < 3^5
Buradan:
4 < y < 5
Adım 3 — z Değerinin Aralığını Belirleme
5^z = 343 eşitliğinde 343 sayısının 5’in hangi ardışık kuvvetleri arasında olduğunu bulalım:
5^3 = 125
5^4 = 625
125 < 343 < 625 \implies 5^3 < 5^z < 5^4
Buradan:
3 < z < 4
Adım 4 — Değerleri Karşılaştırma
Elde ettiğimiz eşitsizlik aralıklarını yan yana yazalım:
3 < z < 4 < y < 5 < 6 < x < 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
Büyükten küçüğe doğru sıralanış: x > y > z
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kuvvet Sıkıştırma Yöntemi: Tam sayı kuvveti olmayan üslü denklemlerde, verilen değerin tabanın ardışık iki tam sayı kuvveti arasına sıkıştırılmasıyla yaklaşık değer aralığının bulunmasıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Eşitliğin sağındaki sayılara bakarak (343 > 128 > 81) doğrudan z > y > x sonucuna varmak.- Doğru Yaklaşım: Tabanlar birbirinden farklı olduğu için önce her bir bilinmeyenin (x, y, z) kendi sayı doğrusundaki aralığı tespit edilmeli, ardından sıralama yapılmalıdır.
Bu tarz üslü eşitsizlik veya logaritma içeren benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Üslü Sayılarda Sıralama (Özet Çözüm)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
a > 1 \text{ iken } a^m < a^k < a^n \iff m < k < n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların Bulunduğu Aralıkları Belirleme
Verilen sayıları ardışık tam sayı kuvvetleri arasına yerleştirelim:
- 2^6 < 81 < 2^7 \implies 64 < 81 < 128 \implies \mathbf{6 < x < 7}
- 3^4 < 128 < 3^5 \implies 81 < 128 < 243 \implies \mathbf{4 < y < 5}
- 5^3 < 343 < 5^4 \implies 125 < 343 < 625 \implies \mathbf{3 < z < 4}
Adım 2 — Karşılaştırma
Aralıklara bakıldığında:
3 < z < 4 < y < 5 < 6 < x < 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: x > y > z
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aralık Tayini: Üslü sayının sonucunu tabanın tam kuvvetleri arasına sıkıştırarak üssün yaklaşık değerini bulma.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Eşitliklerin sağındaki sayılara bakıp 343 > 128 > 81 olduğu için z > y > x sonucuna varmak.
- Doğru Yaklaşım: Tabanlar farklı olduğu için üslerin büyüklüğünü belirleyen değer aralıklarını kıyaslamak.
Benzer bir sıralama sorusuyla pratik yapmak ister misin?
Üslü Sayılarda Sıralama (Kısa Çözüm)
KULLANILAN KURAL:
a > 1 için a^m < a^k < a^n \implies m < k < n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
- x için: 2^6 = 64 < 81 < 128 = 2^7 \implies \mathbf{6 < x < 7}
- y için: 3^4 = 81 < 128 < 243 = 3^5 \implies \mathbf{4 < y < 5}
- z için: 5^3 = 125 < 343 < 625 = 5^4 \implies \mathbf{3 < z < 4}
Aralıklar karşılaştırıldığında:
3 < z < 4 < y < 5 < 6 < x < 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
Büyükten küçüğe sıralama: x > y > z
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Benzer pratik bir soru daha çözmek ister misin?