olduğuna göre, x + y toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 1 B) 3 C) 6 D) 9 E) 12
Soru Fotoğrafı:
Soru: x \cdot y = 31 ise, x+y aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Çarpımı inceleyelim
Verilen bilgiye göre x \cdot y = 31.
Adım 2 — 31 sayısının çarpanlarını düşünelim
31 asal sayıdır. Bu yüzden pozitif tam sayı çarpanları yalnızca:
- 1 ve 31
olabilir.
Adım 3 — Toplamı bulalım
Eğer x=1 ve y=31 ise:
1 + 31 = 32
Dolayısıyla x+y değeri 32 olabilir.
Adım 4 — Seçeneklerle karşılaştıralım
Seçeneklerde 32 yok:
- A) 1
- B) 3
- C) 6
- D) 9
- E) 12
Bu yüzden verilen seçeneklerden hiçbiri olamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: Hiçbiri
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Asal sayı
- Tanım: 1 ve kendisi dışında böleni olmayan sayıdır.
- Bu problemde: 31 asal olduğu için yalnızca 1 × 31 şeklinde yazılabilir.
2. Çarpanlar
- Tanım: Bir sayıyı kalansız bölen sayılardır.
- Bu problemde: 31’in çarpanları sadece 1 ve 31’dir.
Sık Yapılan Hata:
Toplamı seçeneklerden biri sanmak
- Yanlış: 31’in çarpımı olduğuna göre toplam da seçeneklerden biridir demek.
- Doğru: Önce sayıların hangi değerleri alabileceği bulunmalıdır.
- Neden yanlış: Asal sayının çarpan yapısı çok sınırlıdır.
Not: Fotoğraftaki soru metninde eksik ya da hatalı yazım olabilir; çünkü verilen seçeneklerde doğru sonuç olan 32 yer almıyor.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
x·y = 31 olduğuna göre, x + y toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Kullanılan Kural:
İki sayının çarpımı 31 ise ve 31 asal çarpanlı bir sayı olduğu için (31 ve 1), sayılar bu çarpanlardan oluşur.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — x ve y için olası tamsayı değerlerini belirle
31 sayısı asal olduğundan, çarpımı 31 olan tamsayılar ya (1, 31) ya da (31, 1) olabilir. Ayrıca sayılar negatif de olabilir: (-1, -31) veya (-31, -1).
Adım 2 — x + y toplamlarını hesapla
- (1, 31) için: 1 + 31 = 32
- (31, 1) için: 31 + 1 = 32
- (-1, -31) için: -1 + (-31) = -32
- (-31, -1) için: -31 + (-1) = -32
Adım 3 — Toplamların seçeneklerle karşılaştırılması
Verilen seçenekler: 1, 3, 6, 9, 12.
Bulduğumuz toplamlar (32 veya -32) bunların arasında değil.
Adım 4 — x ve y’nin tam sayı olmayabileceğini düşün
x ve y tam sayı değil, reel sayılar da olabilir. Ama soruda tam sayı olduğu varsayımı yok, bu nedenle çözümü denkleme göre yapalım.
x \cdot y = 31 ve toplamları verilen değerlerden biri olabilir.
Bilinmeyenler için aşağıdaki kökleri kullanalım;
x+y = S ve x \cdot y = P = 31.
x ve y, t^2 - S t + P = 0 denkleminin kökleri olmalı.
Adım 5 — Köklerin gerçel olması için diskriminant şartını kullan
\Delta = S^2 - 4P \geq 0 olmalıdır.
Burada P = 31, öyleyse:
S^2 - 4 \times 31 \geq 0
S^2 - 124 \geq 0
S^2 \geq 124
|S| \geq \sqrt{124} \approx 11.13
Adım 6 — Verilen seçeneklerden hangi S bu şartı sağlıyor?
Seçenekler: 1, 3, 6, 9, 12
- 1 için |1| < 11.13 → Olmaz
- 3 → Olmaz
- 6 → Olmaz
- 9 → Olmaz
- 12 → |12| > 11.13 → Olabilir
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
-
İki sayının toplamı ve çarpımıyla ilgili denklemler
- Sayıların kök olduğu ikinci dereceden denklem, t^2 - S t + P=0, burada S=x+y ve P=xy.
-
Diskriminant (Δ) kavramı
- Köklerin gerçek olması için \Delta = S^2 - 4P \geq 0 şartı gerekir.
Yapılan yaygın hata:
Yanlış: Çarpımı 31 olan sayıların toplamının kesin olarak 32 olduğunu varsaymak.
Doğru: Sayılar reel veya tam sayı olmayabilir; toplamın hangi değerleri alabileceğini diskriminant hesabıyla kontrol etmek gerekir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!