Olduğuna göre, x + y en çok kaçtır?

YKS TYT
1
  1. xy iki basamaklı doğal sayıdır.
    xy = 4• (x + y)
    olduğuna göre, x + y en çok kaçtır?
    A) 12
    B) 16
    C) 18
    D) 8
    E) 10

xy iki basamaklı doğal sayıdır.
xy iki basamaklı doğal sayıdır.1024×768 58.4 KB

2

xy İki Basamaklı Sayısı İçin x + y Toplamının En Büyük Değerini Bulma

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
İki basamaklı xy doğal sayısının basamak çözümlemesi:

xy = 10x + y \quad (x \in \{1,2,\dots,9\}, \ y \in \{0,1,\dots,9\})

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Basamak Çözümlemesi Yapma
Verilen xy = 4 \cdot (x + y) denkleminde xy sayısını basamak değerlerine ayıralım:

10x + y = 4 \cdot (x + y)

Sağ taraftaki çarpma işlemini dağıtalım:

10x + y = 4x + 4y

Adım 2 — Bilinen ve Bilinmeyenleri Sadeleştirme
Benzer terimleri eşitliğin iki tarafında toplayalım:

10x - 4x = 4y - y
6x = 3y

Her iki tarafı 3’e bölerek sadeleştirelim:

2x = y

Adım 3 — Rakam Şartını Uygulama ve En Büyük Değeri Bulma
x ve y birer rakam ve x \neq 0 olduğundan, 2x = y eşitliğini sağlayan değer çiftlerini yazalım:

  • x = 1 \implies y = 2 \implies x + y = 1 + 2 = 3 (xy = 12)
  • x = 2 \implies y = 4 \implies x + y = 2 + 4 = 6 (xy = 24)
  • x = 3 \implies y = 6 \implies x + y = 3 + 6 = 9 (xy = 36)
  • x = 4 \implies y = 8 \implies x + y = 4 + 8 = 12 (xy = 48)
  • x = 5 \implies y = 10 (y bir rakam olmak zorunda olduğu için 10 olamaz)

Bu durumda x + y ifadesinin alabileceği en büyük değer 12 olarak bulunur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A seçeneğidir (12).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Basamak Çözümlemesi

  • Tanım: Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı şeklinde yazılmasıdır.
  • Bu problemde: xy sayısı 10x + y şeklinde açılarak cebirsel denkleme dönüştürülmüştür.

2. Rakam Olma Şartı

  • Tanım: Onluk tabanda bir sayının her basamağı \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} kümesinin bir elemanı olmalıdır ve onlar basamağı 0 olamaz.
  • Bu problemde: y en fazla 9 olabildiği için x en fazla 4 değerini alabilmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: x ve y’yi Rakam Sınırını Aşacak Şekilde Seçmek

  • Yanlış: x = 8, y = 16 seçip x + y = 24 veya x = 6, y = 12 seçip x + y = 18 demek.
  • Doğru: y bir basamak olduğu için y \le 9 olmak zorundadır; bu yüzden en büyük y değeri 8’dir.
  • Neden yanlış: İki basamaklı sayılarda basamaklar yalnızca tek haneli rakamlardan oluşabilir.

Basamak kavramı ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?