ayinlari
ÖRŅEK 47
arccotx = arctan9x
olduğuna göre, x sayısinin pozitif değeri kaçtır?
A)
B)
/3dyayinlari
E) 3
Ters Trigonometrik Denklemler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\arctan(u) = \theta \iff \tan(\theta) = u
\operatorname{arccot}(u) = \theta \iff \cot(\theta) = u
\tan(\theta) \cdot \cot(\theta) = 1 \quad \left(\theta \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitliği Ortak Bir Açıya Eşitleme
Verilen ters trigonometrik ifadelerin sonucuna ortak bir \theta açısı tanımlayalım:
\operatorname{arccot} x = \arctan(9x) = \theta
Adım 2 — Trigonometrik Fonksiyonlara Dönüştürme
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı gereği:
\operatorname{arccot} x = \theta \implies \cot \theta = x
\arctan(9x) = \theta \implies \tan \theta = 9x
Adım 3 — \tan \theta \cdot \cot \theta = 1 Bağıntısını Kullanarak Denklemi Çözme
Aynı açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı daima 1’e eşittir:
\tan \theta \cdot \cot \theta = 1
(9x) \cdot (x) = 1
9x^2 = 1
x^2 = \frac{1}{9}
Adım 4 — Pozitif Değeri Belirleme
Karekök alındığında x = \frac{1}{3} veya x = -\frac{1}{3} elde edilir. Soruda x sayısının pozitif değeri istendiği için:
x = \frac{1}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı — \dfrac{1}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ters Trigonometrik Fonksiyonlar: Değeri verilen bir fonksiyonun ait olduğu açıyı bulmayı sağlar (\arcsin, \arccos, \arctan, \operatorname{arccot}).
- Tanjant-Kotanjant Özdeşliği: Tanımlı olduğu aralıkta aynı açının tanjantı ve kotanjantı birbirinin çarpmaya göre tersidir (\tan\theta \cdot \cot\theta = 1).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: \operatorname{arccot}x = \frac{1}{\cot x} şeklinde cebirsel bir ters alma işlemi olarak düşünmek.- Doğru Yaklaşım: \operatorname{arccot}x, değeri x olan açıyı ifade eder; fonksiyonun çarpmaya göre tersi değil, bileşke işlemine göre tersidir.
Ters trigonometrik fonksiyonlarla ilgili benzer bir soru daha çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?