Olduğuna göre, x değeri kaçtır?

YKS TYT
1

10-3- 2
5. Gerçel sayılar kümesinde * işlemi
atb = ab
a-b
biçiminde tanımlaniyor.
olduğuna göre, x değeri kaçtır?
A)
B)
D) 2
E)

Gerçel sayılar kümesinde işlemi atb = ab a-b biçiminde tanımlaniyor.
Gerçel sayılar kümesinde işlemi atb = ab a-b biçiminde tanımlaniyor.1024×768 85.9 KB

2

Gerçel Sayılarda Tanımlı Özel İşlem ve x Değerinin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:
Gerçel sayılar kümesinde tanımlanan işlem kuralı:

a \star b = \frac{a \cdot b}{a - b}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Eşitliğin Sol Tarafını Hesaplama
Eşitliğin sol tarafındaki \frac{2}{5} \star \frac{3}{7} ifadesini işlem kuralına göre açalım:

  • Pay: a \cdot b = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{35}
  • Payda: a - b = \frac{2}{5} - \frac{3}{7} = \frac{14 - 15}{35} = -\frac{1}{35}

Buradan sol tarafın değeri:

\frac{2}{5} \star \frac{3}{7} = \frac{\frac{6}{35}}{-\frac{1}{35}} = -6

Adım 2 — Eşitliğin Sağ Tarafını Düzenleme
Sağ taraftaki işlemde a = \frac{3}{2} ve b = \frac{1}{1-x} olarak verilmiştir. Kolaylık sağlaması için \frac{1}{1-x} = k diyelim.
İşlem kuralını uygulayarak sonucu -6’ya eşitleyelim:

\frac{3}{2} \star k = \frac{\frac{3}{2} \cdot k}{\frac{3}{2} - k} = -6

Adım 3 — k Değerini Bulma
İçler dışlar çarpımı yaparak k değerini bulalım:

\frac{3}{2}k = -6 \cdot \left(\frac{3}{2} - k\right)
\frac{3}{2}k = -9 + 6k
9 = 6k - \frac{3}{2}k
9 = \frac{9}{2}k \implies k = 2

Adım 4 — x Değerini Hesaplama
k = 2 olduğunu bulduk. Başta yaptığımız k = \frac{1}{1-x} dönüşümünü yerine yazalım:

\frac{1}{1-x} = 2
1 - x = \frac{1}{2}
x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \mathbf{A)\ \dfrac{1}{2}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Tanımlı İşlemler (Fonksiyonel İşlem)

  • Tanım: Standart dört işlem dışında, verilen değişkenler arasında özel bir kural ile tanımlanan matematiksel bağıntılardır.
  • Bu problemde: Yıldız (\star) sembolü ile iki sayının çarpımının farklarına oranı modellenmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kesirli İfadelerde Payda Çıkarma Sırasını Karıştırmak

  • Yanlış: a - b yerine b - a yazarak paydanın işaretini pozitif bulmak.
  • Doğru: İşlem sırasına sadık kalarak \frac{2}{5} - \frac{3}{7} = -\frac{1}{35} negatif sonucunu korumak.
  • Neden yanlış: Çıkarma işleminde değişme özelliği yoktur; işaret hatası sonucun zıt işaretli çıkmasına yol açar.

Bu tür özel tanımlı işlem sorularını pekiştirmek için benzer bir örnek daha çözmemi ister misin?