y = a^2 + 2a
a^3 = x - 1
olduğuna göre, x = 9 için \frac{dy}{dx} aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 4
B) 2
C) \frac{1}{2}
D) 0
E) -2
Parametrik Fonksiyonlarda Zincir Kuralı ile Türev Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Parametrik olarak verilen y = f(a) ve x = g(a) fonksiyonlarında türevde zincir kuralı gereğince \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{da}}{\frac{dx}{da}} bağıntısı uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — x = 9 için Parametrenin (a) Değerini Bulma
Verilen a^3 = x - 1 denkleminde x = 9 değeri yerine yazılır:
a^3 = 9 - 1 = 8 \implies a = 2
Adım 2 — Fonksiyonların a Parametresine Göre Türevlerini Alma
y ve x değişkenlerinin a’ya göre türevleri hesaplanır:
\frac{dy}{da} = \frac{d}{da}(a^2 + 2a) = 2a + 2
x = a^3 + 1 \implies \frac{dx}{da} = \frac{d}{da}(a^3 + 1) = 3a^2
Adım 3 — Zincir Kuralını Uygulama ve Değeri Hesaplama
a = 2 değeri türev ifadelerinde yerine konularak oranlanır:
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{da}}{\frac{dx}{da}} = \frac{2a + 2}{3a^2}
\frac{dy}{dx}\Bigg|_{a=2} = \frac{2(2) + 2}{3(2)^2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
CEVAP: C) \frac{1}{2} \left(\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=9} = \frac{1}{2}\right)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Parametrik türev sorularında verilen x değeri doğrudan türev fonksiyonunda yerine yazılmaz; öncelikle bu x değerine karşılık gelen parametre değeri (a) bulunmalı ve türevde bu parametre kullanılmalıdır.