- Şekil 1’de mavi renkli ABCD yamuğunun içine turuncu renkli BCEF deltoidi yerleştirilmiştir. BCEF deltoidi, ABCD yamuğunun içine Şekil 2’deki gibi yerleştirildiğinde C, E ve F noktaları sırasıyla C’, E’ ve F’ noktalarıyla çakışmaktadır.
[AB] // [DC], |AD| = |BF|, |E'F'| = |E'C'|, |E'D| = 4|DE| = 8 birim ve |DC| = 6 birim
olduğuna göre, turuncu renkli bölgenin çevresi kaç birimdir?
A) 48
B) 44
C) 40
D) 36
E) 32
@Akademik_Rehber bunu Türkçeye çevir kardeş.
Yamukta Deltoid ve Çevre Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Deltoidin Özellikleri: Karşılıklı ikişer kenarı birbirine eşittir ve simetri ekseninin böldüğü açıların dışındaki karşılıklı açılar birbirine eşittir (m(\widehat{BCE}) = m(\widehat{BFE})).
- Yamukta Karşı Durumlu Açılar: [AB] // [DC] olduğundan m(\widehat{A}) + m(\widehat{D}) = 180^\circ ve m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ.
- İkizkenar Yamuk: Yan kenarları eşit (|AD| = |BC|) olan yamuklarda taban açıları birbirine eşittir (m(\widehat{A}) = m(\widehat{B})).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Deltoidin Kısa Kenarını Bulma
Verilen eşitlikten |E'D| = 4|DE| = 8\text{ birim} olduğuna göre:
|DE| = 2\text{ birim}
E noktası [DC] üzerinde ve |DC| = 6\text{ birim} olduğundan:
|EC| = |DC| - |DE| = 6 - 2 = 4\text{ birim}
Şekil 2’de |E'F'| = |E'C'| olarak tanımlandığı için BCEF deltoidinde:
|EF| = |EC| = 4\text{ birim}
Buradan deltoidin diğer iki kenarının da birbirine eşit olduğu görülür:
|BC| = |BF|
Adım 2 — Yamuğun İkizkenar Olduğunu Belirleme
Soruda |AD| = |BF| olarak verilmiştir. Deltoidin özelliğinden |BF| = |BC| olduğundan:
|AD| = |BC|
Dolayısıyla ABCD bir ikizkenar yamuktur. Taban açılarına \alpha dersek:
m(\widehat{DAB}) = m(\widehat{CBA}) = \alpha
[AB] // [DC] olduğundan yamuğun geniş açısı:
m(\widehat{BCD}) = 180^\circ - \alpha
Adım 3 — Deltoidin Açılarını ve Şekil 2’deki Konumunu İnceleme
BCEF deltoidinde simetri ekseni [BE] köşegenidir. Bu nedenle eşit olmayan kenarlar arasındaki açılar eşittir:
m(\widehat{BFE}) = m(\widehat{BCE}) = 180^\circ - \alpha
Şekil 2’de deltoidin açıları korunur:
m(\widehat{BF'E'}) = 180^\circ - \alpha
F' noktası [AB] doğru parçası üzerinde yer aldığından, A-F'-B noktaları doğrusaldır:
m(\widehat{AF'E'}) = 180^\circ - m(\widehat{BF'E'}) = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha
Adım 4 — \triangle AE'F' Üçgeninin İkizkenarlığından |AD| Kenarını Bulma
\triangle AE'F' üçgeninde:
- m(\widehat{E'AF'}) = \alpha
- m(\widehat{AF'E'}) = \alpha
İki taban açısı eşit olduğundan \triangle AE'F' ikizkenar bir üçgendir. Eşit açıların karşısındaki kenarlar birbirine eşittir:
|AE'| = |E'F'| = 4\text{ birim}
E' noktası [AD] üzerinde ve |DE'| = 8\text{ birim} olduğundan:
|AD| = |DE'| + |AE'| = 8 + 4 = 12\text{ birim}
Adım 5 — Turuncu Deltoidin Çevresini Hesaplama
Yamuk ikizkenar olduğundan deltoidin uzun kenarları:
|BC| = |BF| = |AD| = 12\text{ birim}
Turuncu renkli BCEF deltoidinin çevresi:
\text{Çevre} = |EC| + |EF| + |BC| + |BF|
\text{Çevre} = 4 + 4 + 12 + 12 = 32\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 32
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Deltoid Simetrisi: İki ikizkenar üçgenin taban tabana birleşmesiyle oluşur; simetri ekseninin iki yanındaki açılar eşittir.
- Doğrusal Bütünler Açılar: Bir doğru üzerinde kalan komşu iki açının toplamı daima 180^\circ olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Şekildeki açılara varsayımsal olarak 60^\circ veya 45^\circ gibi özel değerler atayıp özel üçgen formülleriyle sonuca gitmeye çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Yamuğun paralelliği ile deltoidin açı simetrisini bütünler açıyla birleştirip \triangle AE'F' üçgeninin ikizkenarlığını açılardan doğrudan ispatlamak.
Bu tarz yamuk ve deltoid birleşimli katlama/yerleştirme sorularında benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?