Olduğuna göre, şeklin çevre uzunluğu kaç birimdir?

Question Answer
1

Aşağıda verilen şekil kenar uzunlukları artan bir geometrik dizi olan eşkenar üçgenler ile oluşturulmuştur.
|AB| = 8 birim ve |CD| = 18 birim
olduğuna göre, şeklin çevre uzunluğu kaç birimdir?
A) 178
B) 228
C) 238
D) 256
E) 278

Aşağıda verilen şekil kenar uzunlukları artan bir geometrik dizi olan eşkenar üçgenler...
Aşağıda verilen şekil kenar uzunlukları artan bir geometrik dizi olan eşkenar üçgenler...1024×752 53 KB

2

Geometrik Dizi ve Eşkenar Üçgenlerin Çevre Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Kenar uzunlukları artan bir geometrik dizi oluşturan çokgenlerde ardışık terimlerin oranı sabittir (r = \frac{a_{n+1}}{a_n}). Şeklin çevresi, dış sınırları oluşturan tüm kenar ve parça uzunluklarının toplamına eşittir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Eşkenar Üçgenlerin Kenar Bağıntılarını Belirleme
Şekilde boyutları küçükten büyüğe doğru artan 4 adet eşkenar üçgen bulunmaktadır. Kenar uzunluklarına sırasıyla a_1 (sarı), a_2 (turuncu), a_3 (yeşil) ve a_4 (gri) diyelim:

  • Turuncu üçgenin tabanı, sarı üçgenin kenarı ile |AB| parçasının toplamıdır:
    a_2 - a_1 = |AB| = 8
  • Gri üçgenin sağ kenarı, yeşil üçgenin sol kenarı ile |CD| parçasının toplamıdır:
    a_4 - a_3 = |CD| = 18

Adım 2 — Geometrik Dizi Oranını (r) ve Kenar Uzunluklarını Bulma
Kenarlar artan bir geometrik dizi oluşturduğundan a_n = a_1 \cdot r^{n-1} bağıntısı kullanılır:

a_1(r - 1) = 8
a_1 \cdot r^2(r - 1) = 18

İki eşitlik taraf tarafa oranlandığında:

\frac{a_1 \cdot r^2(r - 1)}{a_1(r - 1)} = \frac{18}{8} \implies r^2 = \frac{9}{4} \implies r = \frac{3}{2}

Bulunan ortak çarpan (r = \frac{3}{2}) ilk denklemde yerine yazılarak tüm kenarlar hesaplanır:

a_1 \cdot \left(\frac{3}{2} - 1\right) = 8 \implies a_1 = 16
  • a_1 = 16\text{ birim (sarı)}
  • a_2 = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24\text{ birim (turuncu)}
  • a_3 = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36\text{ birim (yeşil)}
  • a_4 = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54\text{ birim (gri)}

Adım 3 — Şeklin Toplam Çevre Uzunluğunu Hesaplama
Şeklin dış çevresini oluşturan tüm kısımlar toplanır:

  • Gri üçgenin alt ve sol kenarları: 2 \cdot a_4
  • Yeşil üçgenin üst kenarı: a_3
  • Turuncu üçgenin sağ kenarı: a_2
  • Sarı üçgenin alt iki kenarı: 2 \cdot a_1
  • Girintili iç sınır parçaları: |AB| + |BC| + |CD| = (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + (a_4 - a_3) = a_4 - a_1
\text{Çevre} = 2a_4 + a_3 + a_2 + 2a_1 + (a_4 - a_1) = 3a_4 + a_3 + a_2 + a_1
\text{Çevre} = 3(54) + 36 + 24 + 16 = 162 + 76 = 238\text{ birim}

:white_check_mark: CEVAP: C) 238

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İç kısımdaki basamaklı parçaların toplamı (|AB| + |BC| + |CD|) teleskopik bir toplam oluşturarak doğrudan en büyük kenar ile en küçük kenarın farkına (a_4 - a_1) eşittir; bu sayede ara uzunlukları tek tek toplamadan pratikçe sonuca ulaşabilirsiniz.