Logaritma Testi Soru Çözümleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \log_a b = c \iff b = a^c
- \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b
- \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y
- \ln e = 1, \ln 1 = 0, \log_{10} 10 = 1
Soru 59
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dış Logaritmayı Üslü İfadeye Çevirme
\log_5(\ln x) = 2 eşitliğinde logaritma tanımı gereği taban karşıya üs olarak geçer:
\ln x = 5^2 \implies \ln x = 25
Adım 2 — Doğal Logaritmadan x Değerini Bulma
\ln x = \log_e x olduğuna göre:
x = e^{25}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) e^{25}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 60
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kuvvet Kurallarını Uygulama
\log_a b = 2 olarak verilmiştir. İstenen ifadedeki terimlerin kuvvetlerini katsayı olarak başa alalım:
- \log_{a^2} b^3 = \frac{3}{2} \log_a b
- \log_{\sqrt{a}} b^2 = \log_{a^{1/2}} b^2 = \frac{2}{\frac{1}{2}} \log_a b = 4 \log_a b
Adım 2 — Değerleri Yerine Yazma
\log_{a^2} b^3 + \log_{\sqrt{a}} b^2 = \frac{3}{2}(2) + 4(2) = 3 + 8 = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 61
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay ve Paydadaki Değerleri Hesaplama
- Pay kısmı: \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7} = 1 ve \ln 1 = 0 olduğundan:
\text{Pay} = 1 + 0 = 1
- Payda kısmı: \ln e = 1 ve \log 10 = 1 olduğundan:
\text{Payda} = 1 + 1 = 2
Adım 2 — Oranı Hesaplama
\frac{1}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \frac{1}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 62
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 60 Sayısını Çarpanlarına Ayırma
Verilenler: \log_3 5 = a ve \log_3 4 = b.
60 = 3 \cdot 4 \cdot 5 şeklinde yazılabilir.
Adım 2 — Çarpımı Toplam Halinde Açma
\log_3 60 = \log_3 (3 \cdot 4 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 4 + \log_3 5
\log_3 60 = 1 + b + a = a + b + 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) a + b + 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 63
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Terimleri Tek Tek Hesaplama
- \log_{16} 4 = \log_{4^2} 4^1 = \frac{1}{2}\log_4 4 = \frac{1}{2}
- \ln e^2 = 2 \ln e = 2 \cdot 1 = 2
- \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \log_3 3 = 2
Adım 2 — İşlemi Tamamlama
\log_{16} 4 + \ln e^2 - \log_3 9 = \frac{1}{2} + 2 - 2 = \frac{1}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \frac{1}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 64
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 360 Sayısını Asal Çarpanlarına Ayırma
360 = 36 \cdot 10 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1
Adım 2 — Logaritma Özelliğini Uygulama
\log 360 = \log(2^3 \cdot 3^2 \cdot 5) = \log(2^3) + \log(3^2) + \log 5
\log 360 = 3\log 2 + 2\log 3 + \log 5
Verilen \log 2 = x, \log 3 = y, \log 5 = z değerlerini yerine yazarsak:
\log 360 = 3x + 2y + z
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 3x + 2y + z
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 65
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Yükseklikleri Toplama
- Yüksekliği \log_3 6 birim olan prizmalardan 2 adet vardır: 2 \cdot \log_3 6
- Yüksekliği \log_3 2 birim olan prizmalardan 3 adet vardır: 3 \cdot \log_3 2
Toplam yükseklik (h):
h = 2\log_3 6 + 3\log_3 2
Adım 2 — Katsayıları Üs Olarak Taşıma ve Logaritmaları Birleştirme
h = \log_3 (6^2) + \log_3 (2^3) = \log_3 36 + \log_3 8
h = \log_3 (36 \cdot 8) = \log_3 288
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) \log_3 288
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Taban ve Üs Başa Alma Kuralı: \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n}\log_a b bağıntısında tabanın kuvveti paydaya, argümanın kuvveti paya katsayı olarak gelir.
- Çarpım Kuralı: Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, içlerinin çarpımına eşittir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: \log_3 60 ifadesini açarken \log_3 (3 + 57) gibi toplam biçiminde düşünüp ayırmaya çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Logaritmanın içindeki sayıyı daima çarpanlarına ayırarak toplam şeklinde yazmak gerekir: \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y.
Bu sorulardan özellikle kafana takılan veya benzer bir pekiştirme sorusuyla üzerinden geçmek istediğin bir tanesi var mı?
