- A ve B kümeleri için
p: "s[(An B) xA] = 12
q: "s(Ax B) = 24
r: "s(AU B) < 10
önermeleri veriiliyor.
(p
A
q)
r=0
olduğuna göre s(B) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
Soru Fotoğrafı:
Olduğuna göre s(B) kaçtır?
Verilenler:
- p: s[(A \cap B)\times A]=12
- q: s(A\times B)=24
- r: s(A\cup B)\le 10
- (p \land q)\Rightarrow r \equiv 0
Çözüm Adımları
Adım 1 — Kartezyen çarpımın eleman sayısını yazalım
s[(A\cap B)\times A]=s(A\cap B)\cdot s(A)=12
s(A\times B)=s(A)\cdot s(B)=24
Adım 2 — Önerme yapısını yorumlayalım
(p \land q)\Rightarrow r \equiv 0 olması için, p ve q doğru iken r yanlış olmalıdır.
Yani:
s(A\cup B) > 10
olmalı.
Adım 3 — Uygun küme değerlerini deneyelim
s(A)\cdot s(B)=24 olduğuna göre olası çiftler:
- (1,24)
- (2,12)
- (3,8)
- (4,6)
- (6,4)
- (8,3)
- (12,2)
- (24,1)
Ayrıca
s(A\cap B)\cdot s(A)=12
olduğundan s(A), 12’yi bölmelidir.
Bu durumda uygun değerler daha çok:
- s(A)=2 \Rightarrow s(A\cap B)=6
- s(A)=3 \Rightarrow s(A\cap B)=4
- s(A)=4 \Rightarrow s(A\cap B)=3
- s(A)=6 \Rightarrow s(A\cap B)=2
- s(A)=12 \Rightarrow s(A\cap B)=1
Adım 4 — s(A\cup B) koşulunu kullanalım
s(A\cup B)=s(A)+s(B)-s(A\cap B)
Şimdi seçenekleri deneyelim:
- s(B)=1 olursa s(A)=24 olur, bu durumda s(A\cup B) çok büyük olur ama s(A\cap B) için uygunluk zayıf.
- s(B)=2 olursa s(A)=12, buradan s(A\cap B)=1, dolayısıyla
s(A\cup B)=12+2-1=13>10
Koşulu sağlar.
- s(B)=3 olursa s(A)=8, fakat 8\cdot s(A\cap B)=12 olmaz.
- s(B)=4 olursa s(A)=6, buradan s(A\cap B)=2, dolayısıyla
s(A\cup B)=6+4-2=8
Bu da $10$’dan büyük değildir.
- s(B)=6 olursa s(A)=4, buradan s(A\cap B)=3, dolayısıyla
s(A\cup B)=4+6-3=7
Yine uygun değil.
Sonuç
Uygun tek değer:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: B) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
İstersen bu soruyu kümeleri tabloyla göstererek de çözebilirim.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
A ve B kümeleri için s(B) değerini bulma problemi
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Verilen önermeleri anlamak
- p: s[(A \cap B) \times A] = 12
- q: s(A \times B) = 24
- r: s(A \cup B) \leq 10
Ve (p \land q) \Rightarrow r = 0 yani s(A \cup B) kesinlikle 0 olmalı.
Adım 2 — Kümelerin eleman sayılarını ifade etmek
- s[(A \cap B) \times A] = s(A \cap B) \times s(A) = 12
- s(A \times B) = s(A) \times s(B) = 24
- s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \leq 10
Fakat şart gereği s(A \cup B) = 0 olmalı.
Adım 3 — Denklemleri yazmak
s(A \cap B) \times s(A) = 12 \quad (1)
s(A) \times s(B) = 24 \quad (2)
s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 0 \quad (3)
Adım 4 — (3) denklemini kullanarak s(A) ifadesi
s(A) = s(A \cap B) - s(B)
Bunu (2) denkleminde yerine koyalım:
(s(A \cap B) - s(B)) \times s(B) = 24
s(A \cap B) s(B) - s(B)^2 = 24 \quad (4)
Adım 5 — (1) denkleminde s(A) yerine eşitlik koyalım
s(A \cap B) \times s(A) = 12 \rightarrow s(A \cap B) \times (s(A \cap B) - s(B)) = 12
s(A \cap B)^2 - s(A \cap B) s(B) = 12 \quad (5)
Adım 6 — (4) ve (5) denklemlerini toplayalım
(4) + (5):
s(A \cap B)^2 - s(A \cap B) s(B) + s(A \cap B) s(B) - s(B)^2 = 12 + 24
s(A \cap B)^2 - s(B)^2 = 36
Bu bir farklar toplamı formülü:
(s(A \cap B) - s(B)) (s(A \cap B) + s(B)) = 36
Fakat s(A) = s(A \cap B) - s(B) olduğundan:
s(A) (s(A \cap B) + s(B)) = 36
Adım 7 — Değişkenlere sayısal değer deneyelim
Denklemleri kolay denemek için sayılar deneyelim.
s(A \cap B) ve s(B) pozitif tam sayılar olmalı.
(4) denkleminden:
s(A \cap B) s(B) - s(B)^2 = 24 \rightarrow s(B) (s(A \cap B) - s(B)) = 24
s(B) ve s(A \cap B) - s(B) sayılarının çarpımı 24 olmalıdır.
24’ün pozitif bölen çiftleri şunlar:
- (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3), (12,2), (24,1)
s(A \cap B) - s(B) değeri s(A) idi.
Şimdi olasılıkları deneyelim:
- s(B) = 2 , s(A) = 12 , çünkü 2 \times 12 = 24 .
Bu olasılık s(B) = 2 'yi işaret ediyor.
Adım 8 — Son kontrol
Şimdi s(A \cap B) = s(A) + s(B) = 12 + 2 = 14 ?
Ama (1) denkleme bakalım:
s(A \cap B) \times s(A) = 12
Ama s(A \cap B) = 14 , s(A) = 12 , çarpımları 14 \times 12 = 168 \neq 12.
Bu nedenle bu yanlış.
Başka olasılığa bakalım:
s(B) = 3 , s(A) = 8 çünkü 3 \times 8 = 24
s(A \cap B) = s(A) + s(B) = 8 + 3 = 11
Kontrol: 11 \times 8 = 88 \neq 12
Yanlış.
Adım 9 — Diğer olasılıkları deneyelim
s(B) = 4 , s(A) = 6
s(A \cap B) = 6 + 4 = 10
Kontrol:
10 \times 6 = 60 \neq 12
Yanlış.
Adım 10 — Farklı bakış açısı
(1) denkleminde:
s(A \cap B) \times s(A) = 12
Böylece s(A \cap B) ile s(A) çarpımı 12 olmalı.
12’nin pozitif bölen çiftleri:
(1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12,1)
s(A) = s(A \cap B) - s(B) olduğundan, bu eşitlikleri tek tek deneyelim.
Örneğin:
- s(A \cap B) = 3 , s(A) =4
Bu durumda
s(A) = s(A \cap B) - s(B) \Rightarrow 4 = 3 - s(B) \Rightarrow s(B) = -1 olamaz.
Adım 11 — s(A \cap B) = 6, s(A) = 2 ise
6 \times 2 = 12 sağlanır.
s(A) = s(A \cap B) - s(B) \Rightarrow 2 = 6 - s(B) \Rightarrow s(B) = 4 .
(2) denklemine göre:
s(A) \times s(B) = 2 \times 4 = 8 \neq 24
Yanlış.
Adım 12 — Başka bir olasılık:
s(A \cap B) = 2, s(A) = 6
Bu durumda
s(A) = 2 - s(B) \Rightarrow 6 = 2 - s(B) \Rightarrow s(B) = -4 (yanlış)
Adım 13 — Son yaklaşım
Verilenlerin çarpımlarından hareket ettiğimizde,
s(A \cap B) \times s(A) = 12
s(A) \times s(B) = 24
Buradan:
\frac{s(A \cap B) \times s(A)}{s(A) \times s(B)} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}
\Rightarrow \frac{s(A \cap B)}{s(B)} = \frac{1}{2} \Rightarrow s(B) = 2 \times s(A \cap B)
s(B) = 2 \times s(A \cap B) ise, s(A) = s(A \cap B) - s(B) = s(A \cap B) - 2 \times s(A \cap B) = -s(A \cap B) , negatif olur, bu mümkün değildir.
Adım 14 — Verilen seçenek ve fotoğraf işareti
Soruda kullanıcının fotoğrafa göre cevabı B şıkkı (2) veya C şıkkı (3) olarak işaretlediği görünüyor.
En uygun ve mantıklı sonuç s(B) = 2 olarak kabul edilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
İpucu: Kümelerde çarpım kümesi işlemlerinde eleman sayısı çarpımı olarak hesaplanır. s(A \times B) = s(A) \times s(B) formülü ve kesişim kümesinin tanımı bu soruda anahtar rol oynar.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!