olduğuna göre, P(x) polinomunun (x^2 - 9) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) x - 6
B) x - 3
C) -x
D) -2x + 3
E) 2x - 6
Buna göre, P(x - 1) polinomunun (x^2 - 2x - 8) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x - 6
B) 2x - 4
C) 2x - 2
E) 2x + 5
Polinomlarda Bölme ve Kalan Teoremi Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir P(x) polinomunun d(x) ile bölümünde kalan, bölenin derecesinden küçük olmak zorundadır. İkinci dereceden bir ifadeye bölündüğünde kalan genel olarak K(x) = ax + b biçiminde seçilir ve bölenin kökleri polinomda yerine yazılarak katsayılar bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
2. Sorunun Çözümü
Adım 1 — Verilen Kalan Bilgilerinden Polinom Değerlerini Bulma
- P(x + 1) polinomunun (x - 2) ile bölümünden kalan -3 ise bölen sıfıra eşitlenir: x - 2 = 0 \implies x = 2. Polinomda yerine yazıldığında:
P(2 + 1) = P(3) = -3
- P(x - 2) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan 9 ise x + 1 = 0 \implies x = -1. Polinomda yerine yazıldığında:
P(-1 - 2) = P(-3) = 9
Adım 2 — (x^2 - 9) ile Bölümünden Kalanı Belirleme
Bölen (x^2 - 9) = (x - 3)(x + 3) ikinci dereceden olduğundan kalan en fazla birinci derecedendir: K(x) = ax + b.
P(x) = (x^2 - 9) \cdot Q(x) + ax + b
Elde edilen P(3) ve P(-3) değerlerini denklemde yerine yazalım:
- x = 3 \implies 3a + b = -3
- x = -3 \implies -3a + b = 9
Taraf tarafa toplandığında:
2b = 6 \implies b = 3
3a + 3 = -3 \implies 3a = -6 \implies a = -2
Buradan kalan K(x) = -2x + 3 bulunur.
3. Sorunun Çözümü
Adım 1 — P(x) Polinomunun Tanımı ve Değerleri
P(x) = (x^2 - 9) \cdot B(x) + (2x - 4) olarak verilmiştir. Kökler x = 3 ve x = -3 için:
P(3) = 0 + (2 \cdot 3 - 4) = 2
P(-3) = 0 + (2 \cdot (-3) - 4) = -10
Adım 2 — P(x - 1) Polinomunun (x^2 - 2x - 8) ile Bölümünden Kalanı Bulma
Bölen x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) olup kalan K(x) = mx + n olsun:
P(x - 1) = (x - 4)(x + 2) \cdot Q_2(x) + mx + n
- x = 4 için: P(3) = 4m + n \implies 4m + n = 2
- x = -2 için: P(-3) = -2m + n \implies -2m + n = -10
Denklemleri birbirinden çıkarırsak:
6m = 12 \implies m = 2
4(2) + n = 2 \implies n = -6
Buradan kalan K(x) = 2x - 6 bulunur.
CEVAP:
- 2. Soru: D) -2x + 3
- 3. Soru: A) 2x - 6
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İkinci dereceden bölen sorularında ifadeyi daima çarpanlarına ayırın; böleni sıfır yapan x değerleri bölüm kısmını tamamen sıfırlayarak kalan denklemini doğrudan iki bilinmeyenli basit bir denklem sistemine dönüştürür.