Soular
P(x) + P(x +2) = 6x + 14
olduğuna göre, P(5) - P(1) kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 14
7
5.
D) 16
E)
Bas k
bir P
olduc
P(1)
Polinom Eşitliği ve Değer Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki aynı dereceli polinomun toplamı birinci dereceden bir ifade (6x + 14) ise P(x) polinomu da birinci derecedendir:
P(x) = ax + b
- Polinom eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Polinomun Genel Denklemini Tanımlama
P(x) birinci dereceden bir polinom olduğundan genel formunu yazalım ve P(x+2) ifadesini oluşturalım:
P(x) = ax + b
P(x + 2) = a(x + 2) + b = ax + 2a + b
Adım 2 — Verilen Eşitliği Kurma ve Katsayıları Eşitleme
İki ifadeyi toplayıp 6x + 14 ifadesine eşitleyelim:
P(x) + P(x + 2) = (ax + b) + (ax + 2a + b) = 2ax + 2a + 2b
2ax + (2a + 2b) = 6x + 14
Polinom eşitliğinden:
2a = 6 \implies a = 3
2a + 2b = 14 \implies 2(3) + 2b = 14 \implies 6 + 2b = 14 \implies 2b = 8 \implies b = 4
Bu durumda polinomumuz:
P(x) = 3x + 4
Adım 3 — P(5) - P(1) Değerini Hesaplama
Bulduğumuz polinomda x = 5 ve x = 1 değerlerini yazalım:
P(5) = 3(5) + 4 = 15 + 4 = 19
P(1) = 3(1) + 4 = 3 + 4 = 7
İstenen fark:
P(5) - P(1) = 19 - 7 = 12
(Pratik Not: P(x) = ax+b doğrusal polinomlarında P(x_2) - P(x_1) = a \cdot (x_2 - x_1) olduğundan, b değerini bulmadan da 3 \cdot (5 - 1) = 12 olarak doğrudan hesaplanabilir.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Doğrusal (Lineer) Polinom: Derecesi 1 olan, P(x) = ax + b biçimindeki polinomlardır. Toplamları daima birinci dereceden bir polinom verir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: P(x) polinomunu x^2 gibi ikinci dereceden seçmek veya doğrudan x yerine keyfi sayılar yazarak denklem sayısını yetersiz bırakmak.- Doğru Yaklaşım: Sonucun derecesine bakarak P(x)'in derecesine karar vermek (P(x) = ax + b) ve katsayılar eşitliğini kullanmak.
Bu soru tipiyle ilgili katsayılar toplamı veya sabit terim içeren benzer bir alıştırma çözmek ister misin?