Olduğuna göre, nin t= 1 içln degeri kaçtır?

Maths Question
1

ux° 1, X 3t-- 2
olduğuna göre,
A) 36
B) 48
dy
dt
nin
t= 1 içln degeri kaçtır?
C) 64
D) 72
E) 96

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×637 36.6 KB

2

Olduğuna göre, \frac{dy}{dt} nin t=1 için değeri kaçtır?

:light_bulb: Kullanılan formüller:

  • Zincir kuralı: \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}
  • Türev alma kuralları: Güç ve toplam türevi

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — Fonksiyonları yaz ve türevlerini al

Verilen fonksiyonlar:

  • y = u^2
  • u = x^3 - 1
  • x = 3t - 2

Öncelikle her birinin türevini alalım:

  • \frac{dy}{du} = 2u
  • \frac{du}{dx} = 3x^2
  • \frac{dx}{dt} = 3

Adım 2 — Zincir kuralını uygula

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = 2u \cdot 3x^2 \cdot 3 = 18u x^2

Adım 3 — t=1 için x ve u değerlerini hesapla

  • x = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1
  • u = x^3 - 1 = 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0

Adım 4 — \frac{dy}{dt} değerini hesapla

\frac{dy}{dt} = 18 \cdot u \cdot x^2 = 18 \cdot 0 \cdot 1^2 = 0

Fakat verilen seçeneklerde 0 yok. Burada dikkat edilmesi gereken nokta \frac{dy}{dt} ifadesinde u’nun t’ye bağlı bir ifade olduğudur. Hesaplamada u’nun değerini direk kullandık ama türev anlamında u’nun t’ye bağlı olarak türevi bilinmeli.

Adım 5 — Alternatif olarak zincir kuralını açarak türev hesapla

y = (x^3 -1)^2 olduğuna göre,

\frac{dy}{dt} = 2(x^3 - 1) \cdot 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt}

Burada,

\frac{dx}{dt} = 3, \quad x=1 \text{ ise}
\frac{dy}{dt} = 2(1^3 - 1) \cdot 3 \cdot 1^2 \cdot 3 = 2(0) \cdot 3 \cdot 3 = 0

Yine 0 geldi.

Farklı yorum: Görünen o ki, soru görselindeki fonksiyonlarda bir hata olabilir veya u farklı bir fonksiyon olarak yorumlanmalı.

Buradaki ifadeyi doğru yorumlayalım:

Görselde üstte: y=u^2, u = x^3 -1, x=3t-2

Ama problemde türev \frac{dy}{dt} olarak sorulmuş.

Yukarıdaki hesaplamada u ve x fonksiyonları doğru.

Alternatif kontrol: dy/dt doğrudan t cinsinden yazalım

y = (x^3 - 1)^2 = \big( (3t - 2)^3 - 1 \big)^2

Şimdi adım adım:

  • x=3t-2
  • x^3 = (3t-2)^3
  • y = (x^3 -1)^2

Şimdi y’nin t’ye türevini alalım:

\frac{dy}{dt} = 2(x^3 -1) \cdot \frac{d}{dt}(x^3 -1)
\frac{d}{dt}(x^3 -1) = 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt} = 3x^2 \cdot 3 = 9x^2

Burada x = 3t-2 ve t=1 için:

  • x = 3(1) - 2 = 1
  • x^3 -1 = 1^3 -1 = 0

Şimdi yerine koyarsak:

\frac{dy}{dt} = 2 \cdot 0 \cdot 9 \cdot 1^2 = 0

Yine 0 çıktı.

Bu durumda farklı olasılıklar:

  • Türev değerinde u veya x başka bir değer almalı.
  • Soru yanlış okunmuş olabilir.
  • Ya da u ve x bağımsız değişken olabilir.

Ancak görselde y = u^2, u = x^3 -1, x=3t-2 verilmiş.

Buna göre x, t fonksiyonu: x=3t-2

Basitçe t=1 için hesaplayalım.

  • x=1
  • u = 1^3 - 1 = 0
  • y=0^2 = 0

Ama türev dy/dt sıfır mı?

Alternatif çözüm: dy/dt = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} olarak

  • \frac{dy}{du} = 2u
  • \frac{du}{dx} = 3x^2
  • \frac{dx}{dt} = 3

t=1 için:

  • u=0
  • x=1

Sayıları yazarsak:

dy/dt = 2 \cdot 0 \cdot 3 \cdot 1^2 \cdot 3 = 0

Tekrar aynı sonuç.

Sonuç: Yukarıdaki bilgilerle \frac{dy}{dt} |_{t=1} = 0

Verilen seçeneklerde 0 yok, bu yüzden soruda eksik bilgi ya da yanlışlık olabilir.

Eğer problem u ve x için başka değerler alıyorsa veya farklı tanımlanıyorsa, lütfen teyit edin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

y = u^2, u = x^3 + 1, x = 3t - 2 olduğuna göre, \dfrac{dy}{dt} nin t=1 için değeri kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Zincir kuralı: \displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Her fonksiyon için türevleri yaz

Fonksiyonlar:

y=u^2
u=x^3+1
x=3t-2

Adım 2 — Her bir türevi tek tek hesapla

y göre u türevi:

\frac{dy}{du}=2u

u göre x türevi:

\frac{du}{dx}=3x^2

x göre t türevi:

\frac{dx}{dt}=3

Adım 3 — Zincir kuralını uygula ve sadeleştir

Zincir kuralı:

\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}
=2u\cdot 3x^2\cdot 3
=2u\cdot 9x^2
=18u x^2

Adım 4 — t=1 için x ve u değerlerini bul ve yerine koy

x için:

x(1)=3\cdot 1 - 2
=1

u için:

u(1)=x(1)^3 + 1
=1^3 + 1
=2

\dfrac{dy}{dt} için:

\frac{dy}{dt}\Big|_{t=1}=18\cdot u(1)\cdot x(1)^2
=18\cdot 2 \cdot 1^2
=36

:white_check_mark: CEVAP: A) 36

TEMEL KAVRAMLAR:

  • Zincir kuralı

    • Tanım: Bileşik fonksiyonların türevini alırken iç fonksiyonların türevlerinin çarpılması.
    • Bu problemde: y(u(x(t))) biçiminde olduğu için \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}\dfrac{dx}{dt}.

  • Bileşke fonksiyon

    • Tanım: Bir fonksiyonun başka bir fonksiyonun içine yerleştirilmesiyle oluşan fonksiyon.
    • Bu problemde: y iç içe geçmiş üç fonksiyonun bileşkesidir.

SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: İç fonksiyonu göz ardı etmek
    • Yanlış: Doğrudan y' = 2x gibi yazmak.
    • Doğru: Önce dy/du, sonra du/dx, sonra dx/dt alınmalı.
    • Neden yanlış: Zincir kuralı ihmal edilmiş olur.
    • Düzeltme: Her ara türevi hesaplayıp çarp.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: