20
+20m
5m
=0,25
olduğuna göre, m kaçtır?
A) -
B) -1
c) -
2
D) 1
Üslü Denklemlerde Değişkeni Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m
- a^x \cdot a^y = a^{x+y}
- Tabanları eşit olan üslü denklemlerde: a^x = a^y \implies x = y \quad (a \notin \{-1, 0, 1\})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay kısmındaki benzer terimleri toplama:
Payda yer alan iki özdeş üslü ifadeyi katsayıları ile toplayalım:
20^m + 20^m = 2 \cdot 20^m
Adım 2 — Üsleri aynı olan ifadeleri tek bir paranteze alma:
Kesri düzenleyip aynı üsse (m) sahip terimleri oranlayalım:
\frac{2 \cdot 20^m}{5^m} = 2 \cdot \left(\frac{20}{5}\right)^m = 2 \cdot 4^m
Adım 3 — Eşitliğin sağ tarafındaki ondalık kesri rasyonel ve üslü sayıya çevirme:
Denklemdeki 0{,}25 ondalık sayısını kesir olarak yazalım:
0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}
Bu durumda denklemimiz:
2 \cdot 4^m = \frac{1}{4}
Adım 4 — Tüm ifadeleri aynı tabanda (2 tabanında) yazarak denklemi çözme:
Her iki tarafı 2’nin kuvvetleri cinsinden ifade edelim:
2^1 \cdot (2^2)^m = 4^{-1}
2^1 \cdot 2^{2m} = (2^2)^{-1}
2^{2m + 1} = 2^{-2}
Tabanlar eşit olduğu için üsleri de birbirine eşitleriz:
2m + 1 = -2
2m = -3
m = -\frac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) -\frac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Üslü İfadelerde Toplama: Üslü sayılarda toplama yapılırken üsler veya tabanlar doğrudan toplanmaz; ortak çarpan parantezine alınarak katsayılar toplanır (x + x = 2x).
- Aynı Üslü İfadelerin Bölümü: Pay ve paydanın üsleri aynı ise tabanlar birbirine bölünür ve ortak üs aynen korunur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 20^m + 20^m = 40^m veya 20^{2m} şeklinde hatalı toplama işlemi yapmak.- Doğru Yaklaşım: 20^m + 20^m = 2 \cdot 20^m şeklinde katsayı belirterek işlem yapmaktır.
Bu konuyla ilgili benzer bir üslü denklem sorusu daha çözerek pratik yapmak ister misin?