CX
D
[AB] çaplı yarım dairede
m(EKA)=66°
P
m(DF)=2-m(DB)=2-m(FE)
A) 24
64
KV66°
olduğuna göre, m(ECAX kaçderecedir?
B) 28 C) 30 D) 32
E) 35
HIZ VE RENK YAYINLARI
12.
Çemberde İç ve Dış Açı Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir çemberde kesişen iki kirişin oluşturduğu iç açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir: \alpha_{\text{iç}} = \frac{\overparen{\text{Yay}}_1 + \overparen{\text{Yay}}_2}{2}. Dış açının ölçüsü ise gördüğü uzak yay ile yakın yayın ölçüleri farkının yarısına eşittir: \alpha_{\text{dış}} = \frac{\overparen{\text{Uzak Yay}} - \overparen{\text{Yakın Yay}}}{2}.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Yay Ölçülerini Değişken Cinsinden Tanımlama
[AB] çaplı yarım çemberde toplam yay ölçüsü 180^\circ’dir. Verilen m(\overparen{DF}) = 2 \cdot m(\overparen{DB}) = 2 \cdot m(\overparen{FE}) eşitliğine göre:
m(\overparen{DB}) = a, \quad m(\overparen{FE}) = a \quad \implies \quad m(\overparen{DF}) = 2a
Yarım çember üzerindeki yayların toplamından:
m(\overparen{DB}) + m(\overparen{DF}) + m(\overparen{FE}) + m(\overparen{EA}) = 180^\circ
a + 2a + a + m(\overparen{EA}) = 180^\circ \implies m(\overparen{EA}) = 180^\circ - 4a
Adım 2 — İç Açı Bağıntısı ile a Değerini Bulma
[AF] ve [DE] kirişlerinin kesişimiyle oluşan K noktasındaki iç açı m(\widehat{EKA}) = 66^\circ’dir. Bu açı \overparen{EA} ve \overparen{DF} yaylarını görür:
m(\widehat{EKA}) = \frac{m(\overparen{EA}) + m(\overparen{DF})}{2}
66^\circ = \frac{(180^\circ - 4a) + 2a}{2} \implies 180^\circ - 2a = 132^\circ
2a = 48^\circ \implies a = 24^\circ
Buradan yay ölçüleri:
- m(\overparen{DB}) = 24^\circ
- m(\overparen{EA}) = 180^\circ - 4(24^\circ) = 84^\circ
Adım 3 — Dış Açı Bağıntısı ile x Açısını Hesaplama
C noktasındaki x = m(\widehat{ECA}) açısı, çemberi dışarıdan kesen iki doğrunun oluşturduğu dış açıdır. Gördüğü yaylar \overparen{EA} (uzak yay) ve \overparen{DB} (yakın yay) olduğundan:
x = \frac{m(\overparen{EA}) - m(\overparen{DB})}{2} = \frac{84^\circ - 24^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ
CEVAP: C) 30 (m(\widehat{ECA}) = 30^\circ)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İç açı formülünde yaylar toplanıp ikiye bölünürken, dış açı formülünde büyük yaydan küçük yay çıkarılıp ikiye bölünür. Bu iki temel kuralı çapın 180^\circ’lik yay böldüğü bilgisiyle birleştirmek soruyu doğrudan çözdürür.