Olduğuna göre m değeri aşağıdakilerden hangisi

YKS TYT
1
  1. Gerçel sayılarda tanımlı bire bir ve örten f fonksiyonu
    için,
    (1() = 4x +m
    esitiği veriliyor.
    f(x)= nx-n
    olduğuna göre m değeri aşağıdakilerden hangisi
    olabilir?
    A)
    B) 1
    D) 2 E)3

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 47.7 KB

2

f(f(x)) = 4x + m ve f^{-1}(x) = nx - n Olduğuna Göre m Değeri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  1. Doğrusal bir fonksiyonun tersi f^{-1}(x) = ax + b ise, fonksiyonun kendisi bu işlemin tersi alınarak bulunur: f(x) = \frac{x-b}{a}.
  2. Bileşke fonksiyon f(f(x)), fonksiyonun içine kendisinin yazılmasıyla elde edilir.
  3. İki polinomun eşitliğinde, aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonun Kendisini Bulma
Bize f^{-1}(x) = nx - n olarak verilmiş. Fonksiyonun kendisini bulmak için y = nx - n eşitliğinde x’i yalnız bırakalım:
y + n = nx
x = \frac{y+n}{n} = \frac{1}{n}y + 1
Buradan f(x) = \frac{1}{n}x + 1 sonucuna ulaşırız.

Adım 2 — Bileşke Fonksiyonu Oluşturma
Şimdi f(f(x)) ifadesini yazalım:
f(f(x)) = \frac{1}{n}(\frac{1}{n}x + 1) + 1
f(f(x)) = \frac{1}{n^2}x + \frac{1}{n} + 1

Adım 3 — Katsayıları Eşitleme
Soruda f(f(x)) = 4x + m olduğu verilmiş. Bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim:
\frac{1}{n^2}x + (\frac{1}{n} + 1) = 4x + m

x’li terimlerin katsayılarından:
\frac{1}{n^2} = 4 \implies n^2 = \frac{1}{4} \implies n = \frac{1}{2} veya n = -\frac{1}{2}

Adım 4 — m Değerini Hesaplama
Sabit terimleri eşitleyelim: m = \frac{1}{n} + 1

  • Eğer n = \frac{1}{2} ise: m = \frac{1}{1/2} + 1 = 2 + 1 = 3
  • Eğer n = -\frac{1}{2} ise: m = \frac{1}{-1/2} + 1 = -2 + 1 = -1

Seçeneklere baktığımızda 3 değerinin mevcut olduğunu görüyoruz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Ters Fonksiyon

  • Tanım: Bir fonksiyonun girdi ve çıktı değerlerinin yer değiştirmesidir.
  • Bu problemde: Verilen ters fonksiyondan yola çıkarak ana fonksiyona ulaştık.

2. Bileşke Fonksiyon

  • Tanım: Bir fonksiyonun sonucunun başka bir fonksiyonun girdisi olmasıdır (f \circ f).
  • Bu problemde: f(x) fonksiyonunu tekrar kendisinin içine yazarak verilen 4x+m ifadesine eşitledik.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Katsayı Hatası

  • Yanlış: f^{-1}(x) fonksiyonunu doğrudan f(f(x)) yerine yazmak.
  • Doğru: Önce f(x) bulunmalı, sonra bileşke işlemi yapılmalıdır.
  • Neden: Bileşke işlemi fonksiyonun kendisiyle yapılır, tersiyle değil.

Anlamadığın bir adım olursa veya benzer bir fonksiyon sorusu daha çözmemi ister misin?

3

Cevabı uzun değil de kısaca yaz

4

f(f(x)) = 4x + m ve f^{-1}(x) = nx - n Sorusunun Kısa Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:
Doğrusal fonksiyonlarda f(f(x)) = ax + b ise, f(x)'in eğiminin karesi a’ya eşittir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — n Değerini Bulma
f^{-1}(x) = nx - n ise f(x) = \frac{x+n}{n} = \frac{1}{n}x + 1 olur.
Bileşke fonksiyonun eğimi, fonksiyonun kendi eğiminin karesidir:
(\frac{1}{n})^2 = 4 \implies \frac{1}{n^2} = 4 \implies n^2 = \frac{1}{4}
Buradan n = \frac{1}{2} veya n = -\frac{1}{2} bulunur.

Adım 2 — m Değerini Hesaplama
f(x) = \frac{1}{n}x + 1 ifadesini f(f(x)) içinde yerine yazarsak sabit terim m = \frac{1}{n} + 1 olur.

  • n = \frac{1}{2} için: m = 2 + 1 = 3
  • n = -\frac{1}{2} için: m = -2 + 1 = -1

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Bu kısa mantıkla ilgili sormak istediğin bir yer var mı?