A= {1, 2,3, 4}
B= {1, 3, 5, 6, 7}
kümeleri veriliyor.
• K =A|B
• M# K
olduğuna göre
KCMC (AUB)
koşulunu sağlayan kaç tane M kümesi vardır?
A) 64
B) 63
C) 32
D) 31
E) 16
Soru Fotoğrafı:
Verilen kümelere göre kaç tane M kümesi vardır?
Kullanılan kural: Eğer bir küme, başka bir kümenin öz alt kümesi ise, aradaki boş elemanlar için seçim yapılır.
Adım 1 — K kümesini bulalım
Verilenler:
- A = \{1,2,3,4\}
- B = \{1,3,5,6,7\}
Soruda
K = A \setminus B verilmiş.
Yani A’da olup B’de olmayan elemanlar alınır:
- 1 → B’de var
- 2 → B’de yok
- 3 → B’de var
- 4 → B’de yok
Bu yüzden:
K = \{2,4\}
Adım 2 — A \cup B kümesini bulalım
A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7\}
Yani toplam 7 elemanlı bir küme var.
Adım 3 — Koşulu yorumlayalım
Verilen koşul:
K \subset M \subset (A \cup B)
Bu, M kümesinin:
- $K$’yı içermesi
- ama $A \cup B$’nin tamamı olmaması
gerektiği anlamına gelir.
K = \{2,4\} olduğuna göre, geri kalan elemanlar:
\{1,3,5,6,7\}
Bu 5 eleman için seçim yapılır.
Her eleman:
- ya $M$’ye alınır,
- ya alınmaz.
Toplam alt küme sayısı:
2^5 = 32
Ama M \neq K olduğundan, yalnızca $K$’nın kendisi alınamaz.
O hâlde:
32 - 1 = 31
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: D) 31
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel kavramlar:
1. Alt küme sayısı
- Tanım: Bir kümenin her elemanı için iki seçenek vardır: alınır ya da alınmaz.
- Bu soruda: K dışında kalan 5 eleman için seçim yapıldı.
2. Öz alt küme
- Tanım: Bir küme, başka bir kümenin kendisiyle aynı olmayan alt kümesidir.
- Bu soruda: K \subset M olduğu için M, $K$’dan büyük olmalı.
Sık yapılan hata:
$M$’yi doğrudan A \cup B ile karıştırmak
- Yanlış: Tüm kümeyi seçmek.
- Doğru: Sadece $K$’dan farklı ve onu içeren alt kümeleri saymak.
- Neden yanlış: Çünkü koşulda M \subset (A \cup B) ve M \neq K var.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
KCMC (AUB) koşulunu sağlayan kaç tane M kümesi vardır?
Kullanılan Kural:
Verilen:
- A = \{1, 2, 3, 4\}
- B = \{1, 3, 5, 6, 7\}
- K = A \cap B
- M \neq K
- Koşul: K \subseteq M \subseteq (A \cup B)
Amaç: K \subseteq M \subseteq (A \cup B) koşulunu sağlayan, M \neq K olan kaç tane M kümesi olduğunu bulmak.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — K kümesini bulma:
K = A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 3, 5, 6, 7\} = \{1, 3\}
Adım 2 — A \cup B kümesini bulma:
A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}
Adım 3 — M kümeleri () nasıl olmalı?
- M, K’nın tüm elemanlarını içermeli: yani M içinde mutlaka \{1, 3\} olmalı.
- M’nin elemanları A \cup B kümesinin alt kümesi olmalı.
- M \neq K olmalı, yani M en az bir eleman daha içermeli.
Adım 4 — A \cup B elemanları ve K’nın dışındaki elemanlar:
A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}
K = \{1, 3\}
Fark: \{2, 4, 5, 6, 7\}
Adım 5 — M kümeleri sayısı:
- M, K kümesini içermek zorunda, yani mutlaka \{1, 3\} elemanlarını içermeli.
- Geri kalan elemanlardan (5 eleman: 2,4,5,6,7) herhangi birini seçebilir ya da seçmeyebilir.
- Bu yüzden bu 5 elemandan herhangi bir seçim (alt küme) yapmak serbest.
Alt küme sayısı: 2^5 = 32
Ancak M \neq K yani sadece K elemanlarından oluşan küme kabul edilmiyor.
Bu sebeple 32 alt kümeden 1 tanesi, yani boş alt küme seçildiğinde M = K olur ki bu istenmiyor.
Toplam uygun M sayısı:
32 - 1 = 31
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: D) 31
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Küme Alt Kümesi: Eğer K \subseteq M ise, M kümesi tüm K elemanlarını içerir.
- Alt Küme Sayısı: Bir kümenin eleman sayısı n ise o kümenin alt küme sayısı 2^n’dir.
- Küme Eşitliği: İki küme eşit olmak için tüm elemanları aynı olmalıdır; bu problemde M \neq K şartı var.
Yaygın Hata:
Eşitliği Unutmak
- Yanlış: M=K olan kümeyi saymak.
- Doğru: M=K kümesini dahil etmemek.
- Neden yanlış: Soruda M \neq K şartı açıkça belirtilmiş.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!