Olduğuna göre kaç farklı (a, b) ikilisi yazılabilir?

YKS TYT
1

a ve b tam sayıları için, |a| + |b| leq 2
olduğuna göre kaç farklı (a, b) ikilisi yazılabilir?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13

a ve b tam sayıları için, a + b leq 2 olduğuna göre kaç farklı (a, b) ikilisi yazılabilir?
a ve b tam sayıları için, a + b leq 2 olduğuna göre kaç farklı (a, b) ikilisi yazılabilir?800×910 61.9 KB

2

Mutlak Değerli Eşitsizliklerde Tam Sayı İkililerinin Sayısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • a, b \in \mathbb{Z} olmak üzere, mutlak değer her zaman negatif olmayan bir değer alır: |a| \geq 0 ve |b| \geq 0.
  • |a| + |b| \leq 2 eşitsizliğinde, |a| + |b| toplamının alabileceği tam sayı değerleri 0, 1 ve 2’dir.
  • Geometrik olarak |x| + |y| \leq n bölgesindeki tam sayı noktalarının (kafes noktaları) toplam sayısı 2n(n + 1) + 1 formülü ile de hesaplanabilir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — |a| + |b| = 0 Durumu

  • |a| = 0 \implies a = 0 (1 durum)
  • |b| = 0 \implies b = 0 (1 durum)
  • Bu durumdan 1 farklı ikili gelir: (0, 0).

Adım 2 — |a| + |b| = 1 Durumu

  • |a| = 1 ve |b| = 0 \implies a \in \{-1, 1\} ve b = 0 \implies 2 \times 1 = 2 ikili: (1, 0), (-1, 0)
  • |a| = 0 ve |b| = 1 \implies a = 0 ve b \in \{-1, 1\} \implies 1 \times 2 = 2 ikili: (0, 1), (0, -1)
  • Bu durumdan toplam 4 farklı ikili gelir.

Adım 3 — |a| + |b| = 2 Durumu

  • |a| = 2 ve |b| = 0 \implies a \in \{-2, 2\} ve b = 0 \implies 2 ikili: (2, 0), (-2, 0)
  • |a| = 1 ve |b| = 1 \implies a \in \{-1, 1\} ve b \in \{-1, 1\} \implies 2 \times 2 = 4 ikili: (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)
  • |a| = 0 ve |b| = 2 \implies a = 0 ve b \in \{-2, 2\} \implies 2 ikili: (0, 2), (0, -2)$
  • Bu durumdan toplam 2 + 4 + 2 = \mathbf{8} farklı ikili gelir.

Adım 4 — Toplam İkili Sayısını Bulma

1 + 4 + 8 = 13

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Mutlak Değer: Bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığıdır; dolayısıyla |x| \geq 0’dır ve |x| = k (k > 0) denkleminin iki farklı tam sayı kökü (\pm k) vardır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Negatif tam sayıları unutup sadece pozitif tam sayılar ile 0’ı hesaba katmak (a \geq 0, b \geq 0 varsayımı).
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Sıfır dışındaki tüm mutlak değer sonuçlarının hem pozitif hem negatif işaretli ikişer tam sayı değeri ürettiğini dikkate almak.

Benzer bir mantıkla |a| + |b| \leq 3 eşitsizliğini sağlayan tam sayı ikililerinin sayısını pratik yoldan bulmak ister misin?