Olduğuna göre, eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y, z) siralı üçlüsü

Maths Question
1
  1. x, y ve z pozitif tam sayılardır.
    olduğuna göre,
    eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y, z) siralı üçlüsü
    vardır?
    Đ)9
    -E 10

x, y ve z pozitif tam sayılardır.
x, y ve z pozitif tam sayılardır.1024×556 62.5 KB

2

x > y > z ve x + y + z = 12 Şartını Sağlayan Sıralı Üçlüler

:light_bulb: KULLANILAN TEMEL KAVRAMLAR: Pozitif tam sayılar, değer verme yöntemi ve eşitsizlik sınırlamaları.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Şartları Analiz Etme

  • x, y ve z pozitif tam sayılardır (x, y, z \in \mathbb{Z}^+).
  • x > y > z sıralaması mevcuttur.
  • x + y + z = 12 toplamı sağlanmalıdır.

Adım 2 — En Küçük Değişken Üzerinden Sınırları Belirleme
En küçük değişken olan z’den başlayarak sistematik bir şekilde değer verelim. z en az 1 olabilir. Eğer z=4 olsaydı, sıralama gereği y \geq 5 ve x \geq 6 olurdu ki bu durumda toplam 4+5+6=15 (12’den büyük) olurdu. Bu yüzden z değeri 1, 2 veya 3 olabilir.

Adım 3 — Durumların İncelenmesi

  • Durum 1: z = 1 ise
    x + y + 1 = 12 \Rightarrow x + y = 11
    x > y > 1 şartına uygun (x, y) ikilileri:

    1. y = 2 \Rightarrow x = 9 (Uygun: 9 > 2 > 1)
    2. y = 3 \Rightarrow x = 8 (Uygun: 8 > 3 > 1)
    3. y = 4 \Rightarrow x = 7 (Uygun: 7 > 4 > 1)
    4. y = 5 \Rightarrow x = 6 (Uygun: 6 > 5 > 1)
      (Buradan 4 farklı üçlü gelir.)

  • Durum 2: z = 2 ise
    x + y + 2 = 12 \Rightarrow x + y = 10
    x > y > 2 şartına uygun (x, y) ikilileri:

    1. y = 3 \Rightarrow x = 7 (Uygun: 7 > 3 > 2)
    2. y = 4 \Rightarrow x = 6 (Uygun: 6 > 4 > 2)
      (Buradan 2 farklı üçlü gelir. y=5 olamaz çünkü x de 5 olurdu ve x>y şartı bozulurdu.)

  • Durum 3: z = 3 ise
    x + y + 3 = 12 \Rightarrow x + y = 9
    x > y > 3 şartına uygun (x, y) ikilileri:

    1. y = 4 \Rightarrow x = 5 (Uygun: 5 > 4 > 3)
      (Buradan 1 farklı üçlü gelir.)

Adım 4 — Toplam Sayıyı Bulma
Bulduğumuz tüm durumları toplayalım: 4 + 2 + 1 = 7.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 7 farklı (x, y, z) sıralı üçlüsü vardır. Doğru seçenek B şıkkıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Pozitif Tam Sayılar

  • Tanım: 1’den başlayıp sonsuza giden tam sayılar kümesidir (1, 2, 3...).
  • Bu problemde: z değerinin en az 1 olması gerektiğini belirleyerek çözüm aralığımızı kısıtladık.

2. Sıralı Üçlü Şartı (x > y > z)

  • Tanım: Değişkenlerin birbirine eşit olamayacağını ve belirli bir büyüklük sırasında olmasını gerektirir.
  • Bu problemde: Toplamları 12 olan sayıları seçerken her birinin birbirinden farklı ve azalan sırada olmasını sağladık.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Sayıları Eşit Almak

  • Yanlış: x+y+z=12 için (4,4,4) üçlüsünü dahil etmek.
  • Doğru: Soru x > y > z dediği için sayılar asla birbirine eşit olamaz.
  • Neden yanlış: Kesin eşitsizlik (>) sembolü eşitliğe izin vermez.

:cross_mark: Sıfırı Dahil Etmek

  • Yanlış: (11, 1, 0) gibi üçlüler yazmak.
  • Doğru: Sayılar “pozitif tam sayı” olduğu için z \geq 1 olmalıdır.

Bu konuyu pekiştirmek için toplamın 12 yerine 15 olduğu durumdaki çözüm sayısını bulmamı ister misin?