Olduğuna göre, DC doğru parçasının uzunluğu kaç bi-

Question Answer
1
  1. Şekilde ortak köşeleri C noktası olan ABC ve DEC dik üç-
    genleri verilmiştir.
    B
    D
    |AD| = |EC| = 1 birim
    m(ÁED) = 30
    olduğuna göre, DC doğru parçasının uzunluğu kaç bi-
    rimdir?
    A) V4
    B) V3
    c) V2
    D) V2
    E) V3

Şekilde ortak köşeleri C noktası olan ABC ve DEC dik üç- genleri verilmiştir.
Şekilde ortak köşeleri C noktası olan ABC ve DEC dik üç- genleri verilmiştir.915×800 61.8 KB

2

Dik Üçgende Benzerlik ve Trigonometrik Bağıntılar

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Paralellik ve İç Ters Açılar: d_1 \parallel d_2 ise iç ters açılar birbirine eşittir.
  • Üçgenlerin Benzerliği (A.A.A.): İkişer açısı eşit olan dik üçgenler benzerdir:
    \frac{|DC|}{|AC|} = \frac{|EC|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|AB|}
  • Özel Dik Üçgen (30^\circ - 60^\circ - 90^\circ): \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Paralellik ve Açının Belirlenmesi
ABC ve DEC üçgenlerinde m(\widehat{B}) = 90^\circ ve m(\widehat{DEC}) = 90^\circ olduğundan her iki doğru parçası da BC doğrusuna diktir. Dolayısıyla:

AB \parallel DE

AB \parallel DE olduğundan, AE keseni ile oluşan iç ters açılar birbirine eşittir:

m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{AED}) = 30^\circ

Buradan ABE dik üçgeninde m(\widehat{AEB}) = 60^\circ bulunur ve şu oran elde edilir:

\tan 30^\circ = \frac{|BE|}{|AB|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies |AB| = \sqrt{3} \cdot |BE|

Adım 2 — Benzerlik Oranlarının Kurulması
|DC| = x olsun. Bu durumda |AC| = |AD| + |DC| = 1 + x olur.
\triangle DEC \sim \triangle ABC benzerliğinden kenar oranlarını yazalım:

\frac{|EC|}{|BC|} = \frac{|DC|}{|AC|} \implies \frac{1}{|BC|} = \frac{x}{x + 1} \implies |BC| = \frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x}

|BC| = |BE| + |EC| olduğuna göre:

|BE| = |BC| - |EC| = \left(1 + \frac{1}{x}\right) - 1 = \frac{1}{x}

Adım 3 — DE ve AB Uzunluklarının İfade Edilmesi
DEC dik üçgeninde Pisagor bağıntısından:

|DE| = \sqrt{|DC|^2 - |EC|^2} = \sqrt{x^2 - 1}

Yine \triangle DEC \sim \triangle ABC benzerliğinden:

\frac{|DE|}{|AB|} = \frac{|DC|}{|AC|} \implies \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|AB|} = \frac{x}{x + 1} \implies |AB| = \frac{\sqrt{x^2 - 1} \cdot (x + 1)}{x}

Adım 4 — Denklemin Kurulması ve Çözümü

  1. Adımda bulduğumuz |AB| = \sqrt{3} \cdot |BE| eşitliğinde değerleri yerine yazalım:
\frac{\sqrt{x^2 - 1} \cdot (x + 1)}{x} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{x}

Her iki tarafı x ile çarpalım:

\sqrt{x^2 - 1} \cdot (x + 1) = \sqrt{3}

Her iki tarafın karesini alalım:

(x^2 - 1)(x + 1)^2 = 3
(x - 1)(x + 1)(x + 1)^2 = 3
(x - 1)(x + 1)^3 = 3

İfadeyi açıp düzenleyelim:

(x - 1)(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 3
x^4 + 2x^3 - 2x - 1 = 3
x^4 + 2x^3 - 2x - 4 = 0

İfadeyi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayıralım:

x^3(x + 2) - 2(x + 2) = 0
(x + 2)(x^3 - 2) = 0

x bir uzunluk olduğu için x > 0 olmalıdır, bu yüzden x + 2 \neq 0 olur. Buradan:

x^3 - 2 = 0 \implies x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{2}\text{ birim}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) \sqrt[3]{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Aynı Doğruya Dik Doğrular: Bir düzlemde aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine paraleldir (AB \parallel DE). Bu paralellik, açı taşıma ve benzerlik kurmada kilit rol oynar.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: 30^\circ’lik açıyı doğrudan trigonometrik toplam-fark formülleriyle çözmeye çalışıp denklemi sadeleştiremeyerek sonuca ulaşamamak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: AB \parallel DE paralelliğini görerek m(\widehat{BAE}) = 30^\circ iç ters açısını bulmak ve benzerlik oranlarıyla cebirsel denklemi doğrudan kurmak.

Benzer bir geometri sorusunda alan oranları veya trigonometrik bağıntılar üzerinden pratik bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?

3

@sorumatik_ai Bana sorunun sadece cevabını yaz. uzun açıklama yazma sadece cevapları, doğru cevapları yaz.

4

:white_check_mark: CEVAP: C) \sqrt[3]{2}

5

@sorumatik_ai Bana bu cevabı Özetle

6

Çözümün Kısa Özeti

|DC| = x olmak üzere, çözüm şu 3 temel aşamayla elde edilir:

  1. Açı ve Paralellik:
    AB \perp BC ve DE \perp BC olduğundan AB \parallel DE’dir. İç ters açıdan (Z kuralı) m(\widehat{BAE}) = 30^\circ olur. Buradan ABE dik üçgeninde:

    |AB| = \sqrt{3} \cdot |BE|

  2. Benzerlik ve Kenar Bağıntıları:
    \triangle DEC \sim \triangle ABC benzerliğinden kenarlar x cinsinden ifade edilir:

    • |BE| = \frac{1}{x}
    • |AB| = \frac{(x + 1)\sqrt{x^2 - 1}}{x}

  3. Denklemin Çözümü:
    Bulunan değerler eşitlikte yerine yazılır:

    \frac{(x + 1)\sqrt{x^2 - 1}}{x} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{x} \implies (x + 1)\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{3}

    Her iki tarafın karesi alınıp düzenlendiğinde:

    (x + 2)(x^3 - 2) = 0

    x > 0 olması gerektiğinden x^3 = 2 \implies \mathbf{x = \sqrt[3]{2}} bulunur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) \sqrt[3]{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Bu denklem adımlarında aklına takılan veya açılmasını istediğin bir nokta var mı?