- a ve b tam sayılardır.
b-2
olduğuna göre, b nin alabileceği değerler toplam
kaçtır?
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
a
a = \frac{12}{b-2} İfadesinde b’nin Alabileceği Değerler Toplamı
KULLANILAN KURAL VE TANIMLAR:
- İki tam sayının bölümünün bir tam sayı (a \in \mathbb{Z}) belirtmesi için paydanın (b-2), paydaki sayının (12) bir tam sayı böleni olması gerekir.
- Bir A tam sayısının tüm tam sayı bölenlerinin toplamı daima 0’dır.
- b - 2 = k \implies b = k + 2 bağıntısı kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 12 Sayısının Tam Sayı Bölenlerini Belirleme
a’nın tam sayı olması için b-2 ifadesi 12’nin pozitif veya negatif tam sayı bölenlerine eşit olmalıdır.
12 sayısının pozitif tam sayı bölenleri:
k \in \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}
12 sayısının negatif tam sayı bölenleri:
k \in \{-1, -2, -3, -4, -6, -12\}
12’nin toplam 6 + 6 = 12 tane tam sayı böleni vardır.
Adım 2 — b’nin Alabileceği Değerleri Hesaplama
Her bir bölen k değeri için b = k + 2 eşitliği uygulanır:
-
Pozitif bölenler için:
- b - 2 = 1 \implies b = 3
- b - 2 = 2 \implies b = 4
- b - 2 = 3 \implies b = 5
- b - 2 = 4 \implies b = 6
- b - 2 = 6 \implies b = 8
- b - 2 = 12 \implies b = 14
-
Negatif bölenler için:
- b - 2 = -1 \implies b = 1
- $b - 2
@Egitim_Danismani devam et
a = \frac{12}{b-2} Eşitliğini Sağlayan b Değerlerinin Toplamı
KULLANILAN KURAL VE FORMÜL:
- a ve b birer tam sayı (a, b \in \mathbb{Z}) olduğundan, kesirli ifadenin tam sayı çıkması için paydada yer alan (b - 2) ifadesi, 12 sayısının bir tam sayı böleni olmalıdır.
- Bir sayının tüm tam sayı bölenlerinin toplamı simetriden dolayı 0’dır (\sum k = 0).
- Her bir bölen için b = k + 2 bağıntısı geçerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 12 Sayısının Tüm Tam Sayı Bölenlerini Belirleme
12 sayısının pozitif ve negatif tam sayı bölenleri kümesi:
k \in \{-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12\}
12’nin toplam 12 adet tam sayı böleni vardır.
Adım 2 — Her Bölen İçin b Değerlerini Hesaplama
b - 2 = k \implies b = k + 2 formülü ile tüm değerler bulunur:
-
Pozitif bölenler için:
- b - 2 = 1 \implies b = 3
- b - 2 = 2 \implies b = 4
- b - 2 = 3 \implies b = 5
- b - 2 = 4 \implies b = 6
- b - 2 = 6 \implies b = 8
- b - 2 = 12 \implies b = 14
-
Negatif bölenler için:
- b - 2 = -1 \implies b = 1
- b - 2 = -2 \implies b = 0
- b - 2 = -3 \implies b = -1
- b - 2 = -4 \implies b = -2
- b - 2 = -6 \implies b = -4
- b - 2 = -12 \implies b = -10
Adım 3 — b Değerlerinin Toplamını Bulma
Bulunan tüm b değerleri toplanır:
\text{Toplam} = (3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 14) + (1 + 0 + (-1) + (-2) + (-4) + (-10))
\text{Toplam} = 40 + (-16) = 24
12 tane bölenin toplamı 0’dır.
Her bir bölen değerine 2 eklendiği için:
\text{Toplam} = (\text{Bölenlerin Toplamı}) + (12 \times 2) = 0 + 24 = 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Sayı Böleni
- Tanım: Bir tam sayıyı kalansız bölen pozitif ve negatif sayılardır.
- Bu problemde: b-2 ifadesinin alabileceği 12 farklı tam sayı böleni bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Pozitif Bölenleri Almak
- Yanlış: Yalnızca pozitif bölenleri (1, 2, 3, 4, 6, 12) hesaplayıp negatifleri unutmak.
- Doğru: Soruda a ve b için “tam sayı” dendiğinden hem pozitif hem de negatif bölenler dahil edilmelidir.
- Neden yanlış: Negatif tam sayılar da bölme işleminin sonucunu bir tam sayı yapar.
Bu tip tam sayı bölen sorularında pratik formüllerin nasıl çıkarıldığını farklı bir örnekle pekiştirmek ister misin?