Olduğuna gôre, A'nın alabileceģi en küçük değer kaç-

YKS TYT
1
  1. x. y, z ve A birer doğal sayidır.
    15!=2357A
    olduğuna gôre, A’nın alabileceģi en küçük değer kaç-
    tır?
    A) 7007
    B) 1001
    539
    D) 143
    E) 91

y, z ve A birer doğal sayidır.
y, z ve A birer doğal sayidır.1024×585 59.4 KB

2

Faktöriyelde Asal Çarpan Sayısı ve En Küçük Değer Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir n! faktöriyel sayısının içindeki p asal çarpanının en büyük üssünü bulmak için Legendre formülü (ardışık bölme yöntemi) kullanılır:

E_p(n!) = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \dots

A’nın en küçük değerini alabilmesi için, 15! içindeki tüm 2, 3 ve 5 asal çarpanları sırasıyla 2^x, 3^y, 5^z ifadelerine aktarılmalı; yani x, y ve z en büyük (maksimum) değerlerini almalıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — 2, 3 ve 5 Asal Çarpanlarının Maksimum Sayısını Bulma
15! sayısını ardışık olarak bu asallara bölüp bölümleri toplayalım:

  • 2 Asalı için:

    \lfloor 15 / 2 \rfloor = 7
    \lfloor 7 / 2 \rfloor = 3
    \lfloor 3 / 2 \rfloor = 1
    x_{\max} = 7 + 3 + 1 = 11

  • 3 Asalı için:

    \lfloor 15 / 3 \rfloor = 5
    \lfloor 5 / 3 \rfloor = 1
    y_{\max} = 5 + 1 = 6

  • 5 Asalı için:

    \lfloor 15 / 5 \rfloor = 3
    z_{\max} = 3

Adım 2 — 15! Sayısının Tüm Asal Çarpanlarına Ayrılması
15! içindeki diğer asal sayılar 7, 11 ve 13’tür:

  • 7 asalı için: \lfloor 15 / 7 \rfloor = 2 \implies 7^2
  • 11 asalı için: \lfloor 15 / 11 \rfloor = 1 \implies 11^1
  • 13 asalı için: \lfloor 15 / 13 \rfloor = 1 \implies 13^1

Bu durumda 15! sayısının asal çarpanlarına ayrılmış tam hali:

15! = 2^{11} \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot 7^2 \cdot 11^1 \cdot 13^1

Adım 3 — A’nın En Küçük Değerinin Hesaplanması
x = 11, y = 6, z = 3 seçildiğinde geriye kalan çarpanlar doğrudan A sayısını oluşturur:

A = 7^2 \cdot 11^1 \cdot 13^1
A = 49 \cdot 143
A = 7007

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 7007
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Legendre Yöntemi: Faktöriyel içindeki bir asal sayının kuvvetini bulurken sayıyı sürekli o asal sayıya bölüp elde edilen bölümleri toplama işlemidir.
  • Doğal Sayı Kısıtı: x, y, z \in \mathbb{N} olduğu için 2, 3 ve 5’in tüm kuvvetleri bu değişkenlere verilerek A en küçük seviyeye indirilir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: 7 asalının 15! içerisinde yalnızca bir tane olduğunu düşünüp 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001 (B seçeneği) işaretlemek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: 14 = 2 \cdot 7 ve 7 = 1 \cdot 7 olduğundan 15! içinde iki adet 7 çarpanı (7^2 = 49) yer alır.

Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir faktöriyel sorusu daha çözmek ister misin?