- a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere,
a
+b = 30
a<b
olduğuna göre, a nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 29 B) 25
C) 16
D) 14
E) 13
a + b = 30 ve a < b Şartını Sağlayan En Büyük a Değeri
KULLANILAN KURAL VE FORMÜL:
İki tam sayının toplamı sabit bir K değerine eşit olduğunda (a + b = K), sayıların birbirine en yakın olduğu durumda küçük olan sayı alabileceği en büyük değeri alır.
a, b \in \mathbb{Z}^+ ve a < b şartı altında:
- Sayılar eşit olsaydı: a = b = \frac{K}{2}
- a < b şartı nedeniyle a değeri \frac{K}{2} değerinden küçük en büyük tam sayı olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitlik Durumunun Analizi
a ve b sayılarının eşit olduğu durumu varsayalım:
a + b = 30
a + a = 30 \implies 2a = 30 \implies a = 15
Eğer a = b olabilseydi, a en fazla 15 olabilirdi.
Adım 2 — Eşitsizlik Şartının Uygulanması
Soru bizden a < b şartını sağlamamızı istemektedir. Dolayısıyla a sayısı 15’e eşit olamaz, 15’ten küçük olmak zorundadır:
a < 15
a bir pozitif tam sayı olduğuna göre, 15’ten küçük en büyük pozitif tam sayı a = 14’tür.
Adım 3 — b Değerinin Kontrolü ve Doğrulama
a = 14 için b değerini bulalım:
14 + b = 30 \implies b = 30 - 14 = 16
Elde edilen değerleri kontrol edelim:
- a = 14 ve b = 16 birer pozitif tam sayıdır (14, 16 \in \mathbb{Z}^+).
- Toplamları: 14 + 16 = 30’dur.
- Eşitsizlik: 14 < 16 şartı sağlanmaktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 14
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pozitif Tam Sayılar Kümesi (\mathbb{Z}^+)
- Tanım: Sıfırdan büyük olan tam sayıların oluşturduğu kümedir (\{1, 2, 3, \dots\}).
- Bu problemde: a ve b değerlerinin sıfır veya negatif sayı olamayacağını belirler.
2. Kesin Eşitsizlik (a < b)
- Tanım: Bir değerin diğerinden kesin olarak küçük olması durumudur; eşitlik durumunu (a = b) kapsamaz.
- Bu problemde: a ve b sayılarının birbirine eşit seçilmesini engeller ve a’nın sınır değerini 14 yapar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eşitsizlik Şartını Göz Den Kaçırmak
- Yanlış: a + b = 30 için a = 15 ve b = 15 seçerek a’nın en büyük değerini 15 bulmak (E seçeneği).
- Doğru: a < b şartı tanımlandığı için a = 14 ve b = 16 seçilmelidir.
- Why it’s wrong: a = 15 ve b = 15 alındığında 15 < 15 ifadesi yanlış olur ve soruda verilen eşitsizlik ihlal edilir.
Sayıların Birbirinden Uzak Seçilmesi
- Yanlış: a = 1 ve b = 29 seçerek a’yı en küçük değerinde bırakmak.
- Doğru: a’nın en büyük değeri istendiği için a ve b birbirine olabildiğince yakın seçilmelidir.
Benzer bir temel kavramlar veya eşitsizlik sorusu çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?