A =2+ 4 +6+1.. +100
B =1+3+5+1.. + 99
olduğuna göre, A - B farkı kaçtır?
A) 55
B) 52
C) 50n
D) 49
E) 45
A = 2 + 4 + 6 + \dots + 100 ve B = 1 + 3 + 5 + \dots + 99 olduğuna göre A - B farkının bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURAL:
Terim sayısı formülü:
\text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1
Taraf tarafa çıkarma kuralı:
A - B = (a_1 - b_1) + (a_2 - b_2) + \dots + (a_n - b_n)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeleri Taraf Tarafa Çıkarma Şeklinde Yazma
A dizisindeki her çift sayıdan, B dizisindeki karşılık gelen tek sayıyı çıkararak gruplandıralım:
A - B = (2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) + \dots + (100 - 99)
Adım 2 — Her Parantez İçi Farkı Hesaplama
Oluşan her parantezin içindeki fark sabit ve 1’e eşittir:
(2 - 1) = 1
(4 - 3) = 1
(6 - 5) = 1
\vdots
(100 - 99) = 1
Dolayısıyla:
A - B = 1 + 1 + 1 + \dots + 1
Adım 3 — Terim Sayısını Bulma
Dizide kaç adet 1 olduğunu bulmak için A veya B kümesindeki terim sayısını hesaplayalım:
\text{Terim Sayısı} = \frac{100 - 2}{2} + 1 = \frac{98}{2} + 1 = 49 + 1 = 50
Adım 4 — Toplam Farkı Hesaplama
Toplam 50 adet 1 toplanacağından:
A - B = 50 \times 1 = 50
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (50)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ardışık Sayılarda Terim Sayısı
- Tanım: Düzenli artan ardışık sayı dizilerinde eleman adedini veren bağıntıdır.
- Bu problemde: 2’den 100’e kadar olan çift sayıların toplam 50 adet olduğunu belirlemek için kullanıldı.
2. Taraf Tarafa Çıkarma Yöntemi
- Tanım: İki toplam serisi verildiğinde tek tek toplamları bulmak yerine karşılıklı terimleri eşleyerek çıkarma yapma tekniğidir.
- Bu problemde: Büyük toplam formülleriyle vakit kaybetmeden her çiftin farkının 1 olduğunu görmemizi sağladı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Terim Sayısını Yanlış Hesaplamak
- Yanlış: Terim sayısını hesaplarken sonuna +1 eklemeyi unutup 49 bulmak ve cevabı 49 (D şıkkı) işaretlemek.
- Doğru: Formülü eksiksiz uygulayarak \frac{100 - 2}{2} + 1 = 50 sonucuna ulaşmak.
- Neden yanlış: İlk terim de dahil edildiği için fark artış miktarına bölündükten sonra mutlaka 1 eklenmelidir.
Bu tip ardışık sayı dizilerinde toplam formüllerini (n \cdot (n+1) veya n^2) kullanarak yapılan ikinci çözüm yolunu da incelemek ister misin?