- a ve b birer tam sayı olmak üzere;
a =8-X
b =6 +X
olduğuna göre, a -b çarpıminin alabileceği en büyük
A) 64
değer kaçtır?
B) 56
C) 49
D) 48
E) 24
a \cdot b Çarpımının En Büyük Değerini Bulma
KULLANILAN KURAL VE FORMÜL:
Toplamları sabit olan iki sayının çarpımının alabileceği en büyük (maksimum) değer için bu sayıların birbirine en yakın (mümkünse eşit) seçilmesi gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Taraf Tarafa Toplayarak Sabit Toplamı Bulma
Verilen eşitlikleri taraf tarafa toplayarak x bilinmeyenini yok edelim:
a = 8 - x
b = 6 + x
Eşitlikleri topladığımızda:
a + b = (8 - x) + (6 + x)
a + b = 14
a ve b sayılarının toplamının her zaman 14 olduğu görülür.
Adım 2 — Çarpımı Maksimum Yapacak Değerleri Belirleme
a ve b birer tam sayı ve a + b = 14 olduğuna göre, a \cdot b çarpımının en büyük olması için a ve b sayıları birbirine en yakın, yani eşit seçilmelidir:
a = b
a + a = 14 \implies 2a = 14 \implies a = 7
b = 7
x değerini kontrol edersek:
a = 8 - x = 7 \implies x = 1
b = 6 + x = 6 + 1 = 7
x = 1 tam sayı değeri için a = 7 ve b = 7 tam sayı şartını karşılar.
Adım 3 — Çarpım Değerini Hesaplama
a \cdot b = 7 \times 7 = 49
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 49
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Toplamı Sabit Sayıların Çarpım Maksimizasyonu
- Tanım: Toplamı sabit olan iki sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür; sayılar eşit seçildiğinde ise maksimum değerine ulaşır.
- Bu problemde: a + b = 14 sabit toplamında a = 7 ve b = 7 seçilerek en büyük çarpım elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayıları Farklı Alıp Birbirinden Uzak Seçmek
- Yanlış: x = 0 alıp a = 8 ve b = 6 seçerek a \cdot b = 48 cevabına ulaşmak.
- Doğru: Sayıların birbirinden farklı olduğu belirtilmediği için a = b = 7 alınarak a \cdot b = 49 sonucunu bulmak.
- Neden Yanlış: Sayılar arasındaki fark büyüdükçe çarpımın değeri küçülür. Soruda a \neq b şartı verilmediği sürece sayılar eşit seçilebilir.
Benzer bir maksimizasyon sorusu çözerek bu kuralı pekiştirmek ister misin?