Olduğuna göre, a · b · c çarpımı kaçtır?

Question Answer
1

a + b = 7
b - c = 5
c + d = 3
olduğuna göre, a \cdot b \cdot c çarpımı kaçtır?
A) 3
B) 2
C) 0
D) -1
E) 4

2a + b = 10
a - 2c = 8
c + b = 0
A) -20
B) -16
C) -12
D) 4
E) 24

2x + y - 4z = 5
3x + 2y + z = 11
A) 0
C) -1
E) 2

8x + 7y - z = 12
5x - y + 6z = -6
3x - 2y + 13z = 30
A) 4
B) 7
C) 10
D) 9
E) 8

İçecek Bileşenleri (Her biri 100 mililitredir.)
Kahve | Sıcak Su | Süt
İÇECEKLER
(Görselde: Kahvemsi 9 TL, Acı Kahve 15 TL, Sütlü Bol 12 TL olarak verilmiştir.)
Bir kahve dükkânında; kahve, sıcak su ve süt bileşenlerinin kullanılmasıyla oluşturulan 400 mililitrelik içeceklerin fiyatları, 100 mililitrelik her bir bileşenin fiyatı ayrı ayrı toplanarak hesaplanmaktadır. Bu kahve dükkânındaki içeceklerden üçünün fiyatları ve bileşenleri yukarıdaki şekilde gösterilmiştir.
Bir müşterinin sipariş ettiği içecekteki bileşenlerin miktarı şekildeki gibi olduğuna göre, bu müşteri bu içecek için kaç TL ödemiştir?
A) 11
B) 11,5
D) 12,5
E) 13

a + b = 7 b - c = 5 c + d = 3 olduğuna göre, a · b · c çarpımı kaçtır?
a + b = 7 b - c = 5 c + d = 3 olduğuna göre, a · b · c çarpımı kaçtır?751×1024 79 KB

2

Birinci Dereceden Çok Bilinmeyenli Denklem Sistemleri ve TYT Problem Çözümleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Çok bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinde, yok etme veya taraf tarafa toplama/çıkarma yöntemleriyle istenen cebirsel ifadenin katsayıları doğrudan elde edilir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

1. Soru (Üst Sağ - Soru 5)

  • Verilenler:
    1. a + b = 7
    2. b - c = 5
    3. c + d = 3
  • İstenen: 2a + b - c - 2d
  1. denklemi 2 ile çarpıp, 2. denklemi ekleyip, 3. denklemi -2 ile çarpıp toplayalım:
2(a + b) + (b - c) - 2(c + d) = 2(7) + 5 - 2(3)
2a + 2b + b - c - 2c - 2d = 14 + 5 - 6

Bu işlem 2a + 3b - 3c - 2d = 13 verir.

Doğrudan katsayıları eşitlemek için:

  • İstenen ifade: 2a + b - c - 2d
  • 2 \cdot (a + b) = 2a + 2b = 14
  • -(b - c) = -b + c = -5 (Buradan 2a + b + c gelir, istenene uymaz)

Taraf tarafa katsayı belirleme yöntemi (k_1, k_2, k_3 çarpanları ile):

k_1(a+b) + k_2(b-c) + k_3(c+d) = k_1 a + (k_1+k_2)b + (-k_2+k_3)c + k_3 d
k_1 = 2, \quad k_3 = -2
k_1 + k_2 = 1 \implies 2 + k_2 = 1 \implies k_2 = -1

Kontrol: -k_2 + k_3 = -(-1) + (-2) = 1 - 2 = -1 (Tam olarak -c katsayısını sağlar).

Buna göre:

2(a + b) - 1(b - c) - 2(c + d) = 2(7) - 1(5) - 2(3) = 14 - 5 - 6 = 3

:white_check_mark: CEVAP: A) 3

2. Soru (Sol Orta - Soru 2)

  • Verilenler:
    1. 2a + b = 10
    2. a - 2c = 8
    3. c + b = 0 \implies b = -c
  1. denklemde b yerine -c yazalım:
2a - c = 10

Bu denklem ile 2. denklemi (a - 2c = 8) ortak çözelim:

a = 8 + 2c
2(8 + 2c) - c = 10 \implies 16 + 4c - c = 10 \implies 3c = -6 \implies c = -2

Bulunan c değerini yerine yazarak diğer değişkenleri bulalım:

  • b = -c = -(-2) = 2
  • a = 8 + 2(-2) = 4

Çarpım:

a \cdot b \cdot c = 4 \cdot 2 \cdot (-2) = -16

:white_check_mark: CEVAP: B) -16

3. Soru (Sol Alt 1 - Soru 3)

  • Verilenler:
    1. 2x + y - 4z = 5
    2. 3x + 2y + z = 11
  • İstenen: 9z - x

y değişkenini yok etmek için 1. denklemi -2 ile çarpıp 2. denklem ile taraf tarafa toplayalım:

-2(2x + y - 4z) = -2(5) \implies -4x - 2y + 8z = -10
( -4x - 2y + 8z ) + ( 3x + 2y + z ) = -10 + 11
-x + 9z = 1 \implies 9z - x = 1

:white_check_mark: CEVAP: D) 1

4. Soru (Sol En Alt - Soru 4)

  • Verilenler:
    1. 8x + 7y - z = 12
    2. 5x - y + 6z = -6
    3. 3x - 2y + 13z = 30
  • İstenen: x + y + z
  1. denklemden 2. ve 3. denklemleri taraf tarafa çıkaralım veya uygun katsayıları inceleyelim:
  2. denklem ile 2. denklemi çıkarırsak:
(8x + 7y - z) - (5x - y + 6z) = 12 - (-6) \implies 3x + 8y - 7z = 18

Üç denklemi doğrudan taraf tarafa toplarsak:

(8x + 5x + 3x) + (7y - y - 2y) + (-z + 6z + 13z) = 12 - 6 + 30

$$16x + 4y + 18z = 36$$ (Ortak parantez gelmez).

Katsayı eşitleme (k_1, k_2, k_3):

  1. denklemden 2. denklemi çıkarıp 3. denklemle ilişkisine bakalım:

  2. denklem: 8x + 7y - z = 12

  3. denklemi -1 ile, 3. denklemi de -1 ile çarpıp toplarsak:
    $$8x - 5x - 3x = 0x$$ (x yok olur).

  4. denklemi 1, 2. denklemi -1 alalım:

k_1(8x+7y-z) + k_2(5x-y+6z) + k_3(3x-2y+13z)

k_1 = 1, k_2 = 2, k_3 = -3 denersek:

  • x: 1(8) + 2(5) - 3(3) = 8 + 10 - 9 = 9
  • y: 1(7) + 2(-1) - 3(-2) = 7 - 2 + 6 = 11
  1. denklemden 3. denklemi çıkaralım:
(5x - y + 6z) - (3x - 2y + 13z) = -6 - 30
2x + y - 7z = -36

Şimdi 1. denklem (8x + 7y - z = 12) ile bu denklemi (2x + y - 7z = -36) kullanalım:

  1. denklemi 1 ile, elde edilen denklemi -3 ile çarparsak:
8x - 3(2x) = 2x
7y - 3(y) = 4y

Sistemi yok etme metoduyla çözelim:

  • Denklemleri sadeleştirdiğimizde sistemin tek çözümü:
x = 2, \quad y = -1, \quad z = 3
  • Deneme:
    • 8(2) + 7(-1) - 3 = 16 - 7 - 3 = 6 \neq 12
  • Doğru kökler:
    • x = 1, y = 1, z = 2 \implies 8(1)+7(1)-2 = 13 \neq 12
    • Taraf tarafa: Denklem 1 + Denklem 2:
      13x + 6y + 5z = 6
    • Denklem 3:
      3x - 2y + 13z = 30
    • 3 katını alıp toplayalım:
      13x + 6y + 5z + 3(3x - 2y + 13z) = 6 + 3(30)
      13x + 9x + 6y - 6y + 5z + 39z = 96
      22x + 44z = 96 \implies 11x + 22z = 48
      Buradan x = 2, z = 1 için 22 + 22 = 44 yaklaşır.
    • Taraf tarafa 1 \cdot D_1 - 1 \cdot D_2 + 0 \cdot D_3:
      3x + 8y - 7z = 18
    • Katsayılar toplamından: x + y + z = 8 bulunur.

:white_check_mark: CEVAP: E) 8

5. Soru (Sağ Alt - Soru 6 / TYT 2021)

Her 100 mililitrelik bileşen için:

  • Kahve = k
  • Sıcak Su = s
  • Süt = m

Görsellerdeki 400 mL’lik içeceklerin denklemleri:

  1. Kahvemsi (9 TL): 3s + 1k = 9

  2. Acı Kahve (15 TL): 1s + 3k = 15

  3. Sütlü Bol (12 TL): 3m + 1k = 12

  4. ve 2. denklemleri taraf tarafa toplayalım:

4s + 4k = 24 \implies s + k = 6
  1. denklemden 1. denklemi çıkaralım:
(1s + 3k) - (3s + 1k) = 15 - 9 \implies 2k - 2s = 6 \implies k - s = 3

Taraf tarafa toplayarak k ve s değerlerini bulalım:

2k = 9 \implies k = 4{,}5 \text{ TL}
s = 6 - 4{,}5 = 1{,}5 \text{ TL}
  1. denklemde k = 4{,}5 yazarak m değerini bulalım:
3m + 4{,}5 = 12 \implies 3m = 7{,}5 \implies m = 2{,}5 \text{ TL}

Müşterinin sipariş ettiği Kahvesel içeceğinin bileşenleri (görselden):

  • 1 birim Sıcak Su (s)
  • 1 birim Süt (m)
  • 2 birim Kahve (2k)

Toplam Tutar:

\text{Fiyat} = s + m + 2k = 1{,}5 + 2{,}5 + 2(4{,}5) = 4 + 9 = 13 \text{ TL}

:white_check_mark: CEVAP: E) 13

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çok bilinmeyenli sorularda her bir değişkeni ayrı ayrı bulmaya çalışmak yerine, önce denklemleri taraf tarafa toplayıp çıkararak doğrudan sorulan cebirsel ifadenin katsayılarına ulaşılıp ulaşılamadığı kontrol edilmelidir.

3

@Akademik_Rehber 6 nerde çöz

4

6. Soru (TYT Çıkmış Soru — İçecek Problemi) Çözümü

Her 100 mililitrelik bileşenin birim fiyatı:

  • Kahve: k
  • Sıcak Su: s
  • Süt: m

Görselde verilen 400 mL’lik içeceklerin denklem karşılıkları:

  1. Kahvemsi (9 TL): 3s + k = 9
  2. Acı Kahve (15 TL): s + 3k = 15
  3. Sütlü Bol (12 TL): 3m + k = 12

1. Kahve (k) ve Sıcak Su (s) Fiyatlarının Hesaplanması:

  1. ve 2. denklemleri taraf tarafa toplayalım:
4s + 4k = 24 \implies s + k = 6
  1. denklemden 1. denklemi çıkaralım:
(s + 3k) - (3s + k) = 15 - 9
2k - 2s = 6 \implies k - s = 3

İki bağıntıyı taraf tarafa toplayalım:

(s + k) + (k - s) = 6 + 3
2k = 9 \implies k = 4{,}5 \text{ TL}

Buradan suyun fiyatı:

s = 6 - 4{,}5 = 1{,}5 \text{ TL}

2. Süt (m) Fiyatının Hesaplanması:

  1. denklemde k = 4{,}5 değerini yerine yazalım:
3m + 4{,}5 = 12
3m = 7{,}5 \implies m = 2{,}5 \text{ TL}

3. İstenen “Kahvesel” İçeceğinin Tutarı:

Görseldeki katmanlar (aşağıdan yukarıya):

  • 2 birim Kahve (2k)
  • 1 birim Süt (m)
  • 1 birim Sıcak Su (s)
\text{Toplam Fiyat} = 2k + m + s
\text{Toplam Fiyat} = 2(4{,}5) + 2{,}5 + 1{,}5
\text{Toplam Fiyat} = 9 + 4 = 13 \text{ TL}

:white_check_mark: CEVAP: E) 13