- a ERT olmak üzere
aMn2
am+n8
olduğuna göre, a" + a" kaçtır?
A) 8
B) 6
C) 4
-1
D) 2
E) 1
Üslü İfadelerde Denklem Sistemi Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: a^x \cdot a^y = a^{x+y}
- Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}
- Üssün üssü kuralı: (a^x)^y = a^{x \cdot y}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen eşitlikleri çarparak a^m değerini bulalım:
İki ifadeyi taraf tarafa çarptığımızda üsler toplanır ve n değişkeni yok olur:
a^{m-n} \cdot a^{m+n} = 2 \cdot 8
a^{(m-n) + (m+n)} = 16
a^{2m} = 16
(a^m)^2 = 16
a \in \mathbb{R}^+ olduğundan a^m > 0 olmalıdır. Dolayısıyla:
a^m = 4
Adım 2 — Verilen eşitlikleri oranlayarak a^n değerini bulalım:
İfadeleri taraf tarafa böldüğümüzde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:
\dfrac{a^{m+n}}{a^{m-n}} = \dfrac{8}{2}
a^{(m+n) - (m-n)} = 4
a^{2n} = 4
(a^n)^2 = 4
a \in \mathbb{R}^+ olduğundan a^n > 0 olmalıdır. Dolayısıyla:
a^n = 2
Adım 3 — İstenen toplamı hesaplayalım:
Bizden a^m + a^n değeri sorulmaktadır:
a^m + a^n = 4 + 2 = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Taban Aritmetiği: Taban pozitif bir gerçel sayı olduğunda, üs ne olursa olsun üslü ifadenin değeri daima pozitiftir. Bu nedenle (a^m)^2 = 16 eşitliğinden a^m = -4 kökü elenir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: a^{m-n} = 2 ve a^{m+n} = 8 denklemlerini doğrudan alt alta toplamak: a^{m-n} + a^{m+n} = 10 deyip buradan a^m’yi çekmeye çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Üslü sayılarda yok etme metodunu uygulayabilmek için taraf tarafa çarpma veya bölme işlemi yapılmalıdır.
Bu sorudaki mantığı pekiştirmek adına, benzer bir üslü denklem sorusu daha çözmek ister misin?