Olduğuna göre, - 691085

YKS TYT
1
  1. X, y ve z gerçek sayıları için
    olduğuna göre,
    I.

x = y > z

durumlarından hangileri doğru olabilir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız I ve III
D) I, II ve III
E) II ve III

X, y ve z gerçek sayıları için olduğuna göre, I.
X, y ve z gerçek sayıları için olduğuna göre, I.800×1012 93.6 KB

2

x, y ve z Gerçek Sayıları İçin Sıralama ve İşaret Analizi

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE TEMEL BİLGİLER:

  • İki sayının çarpımı pozitif ise (a \cdot b > 0), her iki sayı aynı işaretlidir (ikisi de pozitif veya ikisi de negatif).
  • İki sayının çarpımı negatif ise (a \cdot b < 0), sayılar zıt işaretlidir (biri pozitif iken diğeri negatif).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Eşitsizliklerin İncelenmesi
Verilen eşitsizlik:

x \cdot y > 0 > y \cdot z

Bu ifade iki ayrı eşitsizlik belirtir:

  1. x \cdot y > 0 \implies x ile y aynı işaretlidir.
  2. y \cdot z < 0 \implies y ile z zıt işaretlidir.

Adım 2 — Durum Analizleri (İşaret Durumları)

  • 1. Durum (y pozitif olsun):

    • y > 0 ise, x \cdot y > 0 olması için x > 0 olmalıdır.
    • y > 0 iken y \cdot z < 0 olması için z < 0 olmalıdır.
    • Bu durumda: x > 0, y > 0 ve z < 0 elde edilir.
    • x ve y pozitif, z ise negatif olduğundan; x ve y her zaman z’den büyüktür (x > z ve y > z).

  • 2. Durum (y negatif olsun):

    • y < 0 ise, x \cdot y > 0 olması için x < 0 olmalıdır.
    • y < 0 iken y \cdot z < 0 olması için z > 0 olmalıdır.
    • Bu durumda: x < 0, y < 0 ve z > 0 elde edilir.
    • z pozitif, x ve y negatif olduğundan; z her zaman x ve y’den büyüktür (z > x ve z > y).

Adım 3 — Öncüllerin Değerlendirilmesi

  • I. x = y > z durumu:

    • 1. Durum için x = 2, y = 2 ve z = -1 seçilirse:
      x \cdot y = 2 \cdot 2 = 4 > 0
      y \cdot z = 2 \cdot (-1) = -2 < 0
    • Koşullar sağlandığı için I. öncül doğru olabilir.

  • II. x > y > z durumu:

    • 1. Durum için x = 3, y = 2 ve z = -1 seçilirse:
      x \cdot y = 3 \cdot 2 = 6 > 0
      y \cdot z = 2 \cdot (-1) = -2 < 0
    • Koşullar sağlandığı için II. öncül doğru olabilir.

  • III. x > z > y durumu:

    • x ve y aynı işaretli, z ise zıt işaretli olduğundan:
      • z negatif ise (z < 0), hem x hem y pozitif olduğundan z en küçük olmalıdır (x, y > z). Dolayısıyla z, x ile y arasında yer alamaz.
      • z pozitif ise (z > 0), hem x hem y negatif olduğundan z en büyük olmalıdır (z > x, y). Dolayısıyla z yine ortada yer alamaz.
    • Bu nedenle III. öncül hiçbir zaman doğru olamaz.

Adım 4 — Seçenek Karşılaştırması
:white_check_mark: I. x = y > z — Gerçek sayılarda x ve y pozitif iken birbirine eşit ve negatif z’den büyük olabilir.
:white_check_mark: II. x > y > z — Pozitif x ve y sayıları arasında x > y bağıntısı bulunabilir ve negatif z’den büyük olabilirler.
:cross_mark: III. x > z > y — Zıt işaretli olan z, aynı işaretli olan x ve y’nin arasında değer alamaz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (I ve II)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Çarpma İşaret Kuralları

  • Tanım: Aynı işaretli iki sayının çarpımı daima pozitif, zıt işaretli iki sayının çarpımı daima negatiftir.
  • Bu problemde: x ve y’nin aynı işaret bölgesinde, z’nin ise bunlardan tamamen zıt işaret bölgesinde yer aldığını tespit etmek için kullanıldı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: x ve y’nin Birbirine Eşit Olamayacağını Düşünmek

  • Yanlış: Soruda “farklı sayılar” denmediği halde x \neq y varsayarak I. öncülü elemek.
  • Doğru: Soruda sadece x, y, z gerçek sayıları dendiği için x = y durumu mümkündür.
  • Neden Yanlış: Soru metninde “birbirinden farklı” şartı bulunmadıkça değişkenler eşit değerler alabilir.

Bu konuyu daha iyi pekiştirmek için eşitsizlik ve işaret analizi içeren benzer bir soru daha çözmemi ister misin?

3

@Egitim_Danismani attığım soruları çözer misin

4

@Elifnur_Umutoglu çözer misin

5

Sayfada yer alan 7. ve 8. soruların ayrıntılı, adım adım çözümleri aşağıdadır:

7. Soru: Gerçel Sayılarda İşaret Analizi

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE BİLGİLER:

  • Sıfırdan farklı bir reel sayının çift kuvveti daima pozitiftir (b \neq 0 \implies b^2 > 0).
  • Çarpımın negatif olması için çarpanlar zıt işaretli olmalıdır.
  • Çarpımın pozitif olması için çarpanlar aynı işaretli olmalıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — a’nın İşaretini Belirleme
Verilen eşitsizlik:

a \cdot b^2 < 0
  • b \neq 0 olduğundan b^2 > 0’dır (daima pozitif).
  • Pozitif bir sayı ile a’nın çarpımı negatif (< 0) olduğuna göre:
a < 0 \quad \text{($a$ negatiftir, $-$)}

Adım 2 — c’nin İşaretini Belirleme
Verilen ikinci bağıntı:

a \cdot c > 0
  • a < 0 (negatif) olduğunu bulmuştuk.
  • İki negatif sayının çarpımı pozitif olacağından:
c < 0 \quad \text{($c$ negatiftir, $-$)}

Adım 3 — b’nin İşaretini Belirleme
Verilen eşitsizlik zincirinin sağ tarafı:

0 < c - b \implies b < c
  • c < 0 (negatif) olduğuna göre ve b < c şartı bulunduğundan, b sayısı negatif bir sayıdan daha küçük olmak zorundadır:
b < 0 \quad \text{($b$ negatiftir, $-$)}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E şıkkı (-,\ -,\ - )
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Çift Kuvvet Kuralı: Reel sayılarda üssü çift olan ifadeler taban sıfır değilse daima pozitiftir ve eşitsizliklerde işaret yönünü doğrudan etkilemez.

8. Soru: MSÜ 2019 Turnike / Tek-Çift Sayı Problemi

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE BİLGİLER:

  • Turnike her kişi geçişinde çeyrek tur (90^\circ) dönmektedir.
  • Başlangıçtaki konuma göre turnikenin kolları simetrisini kaybedip farklı bir açıya (çapraz konuma) geldiyse, toplam kişi sayısı TEK sayı olmalıdır (çünkü 4 kollu turnikede çift sayıda çeyrek tur dönüşler ya aynı ya da 180^\circ simetrik konumu verirken, tek sayıda çeyrek tur dönüşler yönü değiştirir).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Toplam Kişi Sayısını İfade Etme

  • Müzeye önce a kişi girmiştir.
  • Ardından her birinde b kişi bulunan c tane grup girmiştir (toplam b \cdot c kişi).
  • Turnikeden geçen toplam kişi sayısı:
\text{Toplam Kişi} = a + b \cdot c

Adım 2 — Teklik / Çiftlik Durumunu Belirleme
Turnike Şekil 1’deki artı (+) konumundan Şekil 2’deki çapraz (\times) konuma geçtiği için toplam dönüş sayısı tek olmalıdır:

a + b \cdot c = \text{TEK}

Bu durum iki farklı şekilde gerçekleşebilir:

Durum a b \cdot c b ve c Durumu
1. Durum Çift Tek b Tek, c Tek
2. Durum Tek Çift b veya c’den en az biri Çift

Adım 3 — Öncüllerin Değerlendirilmesi

  • I. a + b \cdot c tek sayıdır:

    • Turnikenin konum değiştirmesinden doğrudan a + b \cdot c = \text{TEK} bulunur.
    • Kesinlikle Doğrudur.

  • II. a + b + c tek sayıdır:

    • 1. Durum için (a = \text{Çift}, b = \text{Tek}, c = \text{Tek}):
      a + b + c = \text{Çift} + \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}
    • Sonuç çift çıkabildiği için kesin doğru değildir.

  • III. a \cdot b \cdot c çift sayıdır:

    • 1. Durumda: a çifttir \implies a \cdot b \cdot c = \text{Çift}
    • 2. Durumda: b \cdot c çifttir \implies a \cdot (b \cdot c) = \text{Çift}
    • Her iki durumda da en az bir çarpan çift olduğu için çarpım daima çifttir.
    • Kesinlikle Doğrudur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D şıkkı (I ve III)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

  1. sorunun da ayrıntılı adım adım çözümünü eklememi ister misin?
6

Aşağıda sayfada yer alan 5, 7 ve 8 numaralı soruların ayrıntılı ve adım adım çözümleri yer almaktadır.

5. Soru: Eşit Kollu Terazi ve Ardışık Sayılar

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:

  • Ardışık sayma sayıları arasındaki fark 1’dir:
    S = n, \quad K = n + 1, \quad M = n + 2
  • İki kefe arasındaki kütle farkı, ibreler arasındaki birim mesafeye eşittir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Sayıların Tanımlanması
S, K ve M ardışık sayma sayıları ve S < K < M olduğuna göre:

  • En küçük sayma sayısı S = 1 alındığında; K = 2 ve M = 3 olur.
  • K (kırmızı cisim) her zaman 2\text{ kg} kütleye karşılık gelir.

Adım 2 — Mevcut Durumun Belirlenmesi

  • Şekildeki terazinin denge kolu incelendiğinde, iki kefenin sivri uçları arasındaki mesafenin 5 birim olduğu görülmektedir.
  • Bu durum, sol kefe ile sağ kefe arasındaki kütle farkının 5\text{ kg} olduğunu gösterir:
    \text{Kütle Farkı} = 5\text{ kg}

Adım 3 — Sol Kefeye 1 Kırmızı Cisim Eklenmesi

  • Sol kefeye 1 adet kırmızı cisim (K = 2\text{ kg}) eklendiğinde, sol kefenin kütlesi 2\text{ kg} artar.
  • Ağır olan kefeye kütle eklendiği için aradaki toplam kütle farkı da 2\text{ kg} artacaktır:
    \text{Yeni Mesafe} = 5 + K = 5 + 2 = 7\text{ birim}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (7)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

7. Soru: Gerçel Sayılarda İşaret Analizi

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE BİLGİLER:

  • Sıfırdan farklı her gerçel sayının çift kuvveti daima pozitiftir: b \neq 0 \implies b^2 > 0.
  • Çarpımları sıfırdan küçük olan sayılar zıt işaretli, sıfırdan büyük olan sayılar aynı işaretlidir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — a’nın İşaretini Bulma
Verilen ilk eşitsizlik:

a \cdot b^2 < 0
  • b^2 > 0 (pozitif) olduğundan, çarpımın negatif (< 0) olabilmesi için a’nın negatif olması gerekir:
    a < 0 \quad (\mathbf{-})

Adım 2 — c’nin İşaretini Bulma
Verilen ikinci eşitsizlik:

a \cdot c > 0
  • a < 0 (negatif) olarak bulunmuştu.
  • Negatif bir sayıyla çarpıldığında sonucun pozitif (> 0) olması için c’nin de negatif olması gerekir:
    c < 0 \quad (\mathbf{-})

Adım 3 — b’nin İşaretini Bulma
Verilen eşitsizlik zincirinin sağ tarafı:

0 < c - b \implies b < c
  • c < 0 (negatif bir sayı) olduğuna göre ve b < c şartı sağlandığından, b sayısı negatif bir sayıdan da küçük olmalıdır:
    b < 0 \quad (\mathbf{-})

Adım 4 — İşaret Sıralaması

  • a = -
  • b = -
  • c = -

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E şıkkı (-,\ -,\ - )
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

8. Soru: Turnike ve Tek-Çift Sayı Analizi (MSÜ 2019)

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE BİLGİLER:

  • Turnike her 1 kişi geçtiğinde çeyrek tur (90^\circ) dönmektedir.
  • Turnikenin başlangıçtaki dikey/yatay konumdan farklı bir çeyrek konuma (Şekil 2) gelmesi için tek sayıda kişinin geçmesi gerekir.
  • Toplam kişi sayısı: T = a + b \cdot c

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Toplam Kişi Sayısının Tek/Çift Durumu

  • Müzeye önce a kişi, ardından c tane b kişilik grup (yani b \cdot c kişi) girmiştir.
  • Şekil 1’den Şekil 2’ye geçiş tek sayıda çeyrek dönüş gerektirdiğinden:
    a + b \cdot c = \text{Tek Sayı}
  • Dolayısıyla I. öncül kesinlikle doğrudur.

Adım 2 — Çarpımın (a \cdot b \cdot c) İncelenmesi
a + (b \cdot c) = \text{Tek} eşitliğinde iki durum vardır:

  1. a tek ise: b \cdot c çift olmalıdır. b \cdot c çift ise b veya c’den en az biri çifttir. Bu durumda a \cdot b \cdot c kesinlikle çift olur.
  2. a çift ise: a çarpanı çift olduğundan a \cdot b \cdot c doğrudan çift olur.
  • Her iki durumda da en az bir sayı çift olduğundan a \cdot b \cdot c daima çifttir.
  • Dolayısıyla III. öncül kesinlikle doğrudur.

Adım 3 — Toplamın (a + b + c) İncelenmesi

  • a = 1 (Tek), b = 2 (Çift), c = 1 (Tek) seçilirse:
    a + b \cdot c = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \quad (\text{Tek - koşul sağlandı})
    a + b + c = 1 + 2 + 1 = 4 \quad (\text{Çift})
  • a = 1 (Tek), b = 2 (Çift), c = 2 (Çift) seçilirse:
    a + b \cdot c = 1 + 2 \cdot 2 = 5 \quad (\text{Tek - koşul sağlandı})
    a + b + c = 1 + 2 + 2 = 5 \quad (\text{Tek})
  • Sonuç duruma göre tek veya çift çıkabildiği için II. öncül kesin değildir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D şıkkı (I ve III)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Bu sorulardan herhangi birinde aklına takılan veya daha detaylı açıklamamı istediğin bir adım var mı?