x + y - z = 15
3x - 2y + 4z = 20
olduğuna göre, 3y - 5z - 2x kaçtır?
A) -6
B) -2
C) -4
D) -3
E) -5
Birinci Dereceden Üç Bilinmeyenli Denklem Sistemleri ve Lineer Kombinasyon
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki denklem ve üç bilinmeyenin bulunduğu sistemlerde, her bir değişkenin tek tek değerini bulmak yerine, katsayıları eşleme yöntemiyle denklemlerin uygun lineer kombinasyonu (katları alınıp toplanması) kurularak hedeflenen cebirsel ifade doğrudan elde edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Denklemler ve Hedef İfadenin Belirlenmesi
Sistemde verilen denklemleri ve bulunması istenen ifadeyi düzenli biçimde yazalım:
1) \quad x + y - z = 15
2) \quad 3x - 2y + 4z = 20
\text{İstenen ifade: } -2x + 3y - 5z
Adım 2 — Katsayılar Yöntemi ile Lineer Kombinasyonun Kurulması
- denklemi a sayısı ile, 2. denklemi b sayısı ile çarpıp taraf tarafa topladığımızda istenen ifadenin katsayılarına ulaşmayı amaçlayalım:
a(x + y - z) + b(3x - 2y + 4z) = -2x + 3y - 5z
Değişkenlerin katsayılarını eşitlediğimizde:
- x için: a + 3b = -2
- y için: a - 2b = 3
- z için: -a + 4b = -5
Adım 3 — Katsayıların Bulunması ve Değerin Hesaplanması
Birinci eşitlikten ikinci eşitliği çıkarırsak:
(a + 3b) - (a - 2b) = -2 - 3 \implies 5b = -5 \implies b = -1
b = -1 değerini a - 2b = 3 denkleminde yerine yazarsak:
a - 2(-1) = 3 \implies a + 2 = 3 \implies a = 1
Bu katsayılar z’nin katsayısını da sağlar (-1 + 4(-1) = -5). Dolayısıyla, 1. denklemi 1 ile, 2. denklemi -1 ile çarpıp toplamak yeterlidir:
3y - 5z - 2x = 1 \cdot (15) + (-1) \cdot (20) = 15 - 20 = -5
CEVAP: E) -5 (3y - 5z - 2x = -5)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazla olduğunda değişkenleri (x, y, z) ayrı ayrı bulmaya çalışmak vakit kaybettirir. İstenen ifadedeki katsayılar ile eldeki denklemlerin katsayıları arasındaki lineer bağıntıyı fark etmek soruyu saniyeler içinde çözdürür.
@Akademik_Rehber anlamadım dostum
Çok daha basit ve pratik bir yoldan anlatalım:
Soruda verilen iki denklemi alt alta yazıp, üstteki denklemden alttaki denklemi doğrudan çıkarırsan (yani 2. denklemi eksi ile çarpıp toplarsan) aradığın ifadenin kendiliğinden çıktığını görebilirsin:
$$\begin{aligned}
&+\quad (x + y - z = 15) \
&-\quad (3x - 2y + 4z = 20)
\end{aligned}$$
Şimdi terimleri tek tek birbirinden çıkaralım:
- x’ler: x - 3x = \mathbf{-2x}
- y’ler: y - (-2y) = y + 2y = \mathbf{+3y}
- z’ler: -z - (+4z) = \mathbf{-5z}
- Sayılar: 15 - 20 = \mathbf{-5}
Hepsini yan yana yazarsak:
-2x + 3y - 5z = -5
Soruda sorulan ifade de zaten yerleri değişik olsa da tam olarak budur:
3y - 5z - 2x = \mathbf{-5}
Bu yüzden x, y, z’yi ayrı ayrı bulmaya gerek kalmadan cevap doğrudan E şıkkı (-5) olur.