5 =27 ve 125 = 81
olduğuna göre,
A)
B)
kaçtır?
c)
D)
E)
4
1.B 2.B 3.A 4.E
cDort
Sesh
Üslü Denklemlerde Taban Eşitleme ve Üslerin Oranı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
x, y \notin \{-1, 0, 1\} olmak üzere;
x^m = y^n \quad \text{ve} \quad x^p = y^q \implies \frac{m}{p} = \frac{n}{q}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıları Asal Tabanların Kuvveti Olarak Yazma
Soruda verilen eşitliklerdeki sayıları 5 ve 3 tabanında üslü ifadeye dönüştürelim:
5^a = 27 \implies 5^a = 3^3
125^b = 81 \implies (5^3)^b = 3^4 \implies 5^{3b} = 3^4
Adım 2 — Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerin Üslerini Oranlama
Elde ettiğimiz iki eşitliği aynı tabanlar alt alta gelecek şekilde yazalım:
$$\begin{aligned}
5^a &= 3^3 \
5^{3b} &= 3^4
\end{aligned}$$
Üslü sayıların orantı kuralını uygulayarak sol ve sağ taraftaki üsleri birbirine oranlayalım:
\frac{a}{3b} = \frac{3}{4}
Adım 3 — \frac{a}{b} Değerini Hesaplama
Eşitliğin her iki tarafını 3 ile çarpalım:
\frac{a}{b} = 3 \cdot \frac{3}{4}
\frac{a}{b} = \frac{9}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \frac{9}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Üssün Üssü Kuralı: (x^m)^n = x^{m \cdot n} bağıntısı gereği 125^b = (5^3)^b = 5^{3b} olur.
- Taban Eşitleme: Tabanları farklı denklemlerde ortak bir tabana ulaşılamıyorsa, terimler aynı asal tabanlara indirgenip üsler orantılanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 125^b ifadesini 5^b olarak alıp \frac{a}{b} = \frac{3}{4} cevabını işaretlemek.- Doğru Yaklaşım: 125’in 5^3 olduğunu unutmayıp üssü 3b olarak yazmaktır.
Bu kuralı iyice pekiştirmek için benzer bir üslü denklem sorusu daha çözmek ister misin?