Yukarıda sarı, mavi, kımızı, yeşil ve kahverengi renklerde
5 adet fiş aşağıdaki 5 li prize rastgele takılıyor.
Bu fişlerin takılma işlemi bittiğinde sarı renkteki fişin
kırmızı renkteki fişin solunda mavi renkteki fişin
sağında olma olasılığı kaçtır?
A)
1
B)
3
C)
4
D)
5
E) -
Fişlerin Prize Takılma Olasılığı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Klasik Olasılık: P(A) = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}}
- Simetri Kuralı (Bağıl Sıralama): Farklı nesneler arasından seçilen n tanesinin kendi arasındaki tüm olası sıralanışlarının sayısı n! tanedir. Her bir sıralanışın gerçekleşme olasılığı simetriden dolayı birbirine eşittir ve \frac{1}{n!} ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İstenen Şartın Belirlenmesi
Sarı fişin kırmızı fişin solunda ve mavi fişin sağında olması istendiğine göre; soldan sağa doğru bu üç rengin sıralaması yalnızca şu şekilde olmalıdır:
\text{Mavi} < \text{Sarı} < \text{Kırmızı}
(Fişlerin yan yana olması şart değildir, yalnızca soldan sağa göreceli sıralamaları bu düzende olmalıdır.)
Adım 2 — Simetri Mantığı ile Çözüm (1. Yol)
5 farklı fiş rastgele dizildiğinde, mavi, sarı ve kırmızı fişlerin kendi aralarındaki tüm olası sıralanışlarının sayısı:
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
Bu 6 farklı sıralamadan sadece 1 tanesi (\text{Mavi} - \text{Sarı} - \text{Kırmızı}) istenen koşulu sağlar. Tüm sıralanışların ortaya çıkma olasılığı eşit olduğundan:
P = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}
Adım 3 — Permütasyon / Kombinasyon ile Sağlama (2. Yol)
- Tüm durumların sayısı: 5 fişin 5 prize diziliş sayısı:
5! = 120
-
İstenen durum sayısı:
- 5 prizden 3 tanesi mavi, sarı ve kırmızı fişler için seçilir: \binom{5}{3} = 10
- Seçilen bu prizlere fişler tek bir sırada (\text{Mavi} \rightarrow \text{Sarı} \rightarrow \text{Kırmızı}) yerleştirilir: 1 durum
- Kalan 2 prize geriye kalan yeşil ve kahverengi fişler yerleştirilir: 2! = 2 durum
\text{İstenen Durum} = 10 \times 1 \times 2 = 20 -
Olasılık:
P = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı — \frac{1}{6}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bağıl Sıralama (Relative Order): Belirli elemanların diğerlerinden bağımsız olarak kendi aralarındaki diziliş sırasıdır. Toplam eleman sayısı kaç olursa olsun, k elemanın kendi arasındaki tek bir belirli sıraya sahip olma olasılığı daima \frac{1}{k!}'dir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Fişlerin prizde kesinlikle yan yana (ardışık) olması gerektiğini düşünerek olasılığı daha küçük hesaplamak.- Doğru Yaklaşım: Soru metninde “hemen yanında” ya da “ardışık” ifadesi geçmediği sürece fişlerin arasında başka fişlerin de bulunabileceğini göz önüne almaktır.
Benzer bir olasılık veya bağıl sıralama sorusuyla konuyu daha da pekiştirmek ister misin?