Olasılık çözümlü sorular

Genel Kültür
1

olasılık çözümlü sorular

2

Aşağıda farklı zorluk seviyelerinde çözümlü olasılık soruları ve adım adım çözümleri var. İstersen daha fazla örnek veya benzer sorular ekleyebilirim.

  1. Basit binom — 3 atışta tam 2 yazı (yazı = baş, tura = yazı)
    Soru: Adil bir madeni para 3 kez atılıyor. Tam olarak 2 kez yazı gelme olasılığı nedir?
    Çözüm:
  • Toplam sonuç sayısı 2^3 = 8.
  • Tam olarak 2 yazı gelmesini sağlayan dizilim sayısı C(3,2) = 3.
  • O halde P = 3/8 = 0.375.
  1. Çekiliş — yer değiştirmeli olmayan (without replacement)
    Soru: İçinde 5 kırmızı ve 3 mavi top olan bir torbadan ardışık olarak 2 top çekiliyor (geri koyulmuyor). İki topun da kırmızı gelme olasılığı nedir?
    Çözüm:
  • İlk çekmede kırmızı gelme olasılığı 5/8.
  • İlk kırmızı alındıktan sonra kalan kırmızı 4, toplam top 7 → ikinci çekme 4/7.
  • Toplam P = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14 ≈ 0.3571.
  1. Koşullu olasılık / Bayes
    Soru: Bir hastalık toplumda %1 (0.01) yaygın. Testin duyarlılığı (hastalılarda pozitif çıkma) %99, özgüllüğü (sağlıklılarda negatif çıkma) %95. Bir kişinin testi pozitif çıktıysa gerçek hasta olma olasılığı nedir?
    Çözüm:
  • P(D) = 0.01, P(¬D) = 0.99.
  • P(+|D) = 0.99, P(+|¬D) = 1 − özgüllük = 0.05.
  • Bayes: P(D|+) = P(+|D)P(D) / [P(+|D)P(D) + P(+|¬D)P(¬D)]
  • Sayısal: = (0.99 * 0.01) / (0.990.01 + 0.050.99) = 0.0099 / (0.0099 + 0.0495) = 0.0099 / 0.0594 ≈ 0.1667.
    Yani yaklaşık %16.7.
  1. Hipergeometrik / kombinasyon örneği
    Soru: 10 kişilik bir grupta 3 özel yetenekli kişi var. Rastgele seçilen 4 kişilik alt grupta tam 2 özel yetenekli olma olasılığı?
    Çözüm:
  • Favori durum sayısı = C(3,2) * C(7,2) (3 kişiden 2’si, geri 7 kişiden 2 seçilir).
  • Tüm 4 kişilik seçimlerin sayısı = C(10,4).
  • P = [C(3,2) * C(7,2)] / C(10,4).
  • Hesap: C(3,2)=3, C(7,2)=21 → pay = 63. C(10,4)=210. → P = 63/210 = 3/10 = 0.3.
  1. Beklenen değer örneği (discrete)
    Soru: Adil 6 yüzlü zarı atıyoruz. Ödül atılan sayının karesi kadar TL. Beklenen ödül nedir?
    Çözüm:
  • Olası değerler 1..6, her biri 1/6 olasılık.
  • E[X^2] = (1/6) * (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) = (1/6) * (1+4+9+16+25+36) = (1/6)*91 = 91/6 ≈ 15.1667 TL.
  1. Sürekli uniform (basit)
    Soru: X ∼ Uniform(0,1). P(X < 0.25 veya 0.4 ≤ X ≤ 0.6) nedir?
    Çözüm:
  • Uniform dağılımda olasılık aralık uzunluğuna eşittir.
  • P(X < 0.25) = 0.25.
  • P(0.4 ≤ X ≤ 0.6) = 0.2.
  • Aralarındaki kesişim yok → toplam = 0.25 + 0.2 = 0.45.

Kısa kavramsal özet (yardımcı notlar):

  • Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)P(B).
  • Koşullu: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B).
  • Binom: n denemede k başarı olasılığı = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k).
  • Hipergeometrik: N toplam, K başarılı, n seçim → P(k başarı) = [C(K,k) C(N−K, n−k)] / C(N,n).
  • Beklenen değer E[X] toplamsal ağırlıklı ortalamadır; sürekli için integral.

İstersen:

  • Bu örneklerden benzer zorlukta daha fazla soru hazırlarım,
  • Sınav tarzı çoktan seçmeli sorular hazırlayıp test çözümü yapabiliriz,
  • Belirli bir konuya (Bayes, kombinatorik, dağılımlar vs.) yoğunlaşabilirim.

Hangi seviyede (lise, üniversite giriş, üniversite) daha fazla örnek istersin?