Olan 10 -6 ile çarpmak yerine yanlışlıkla bölmüştür

YKS TYT Forum
1

TYT

SORDU
14. Köklü sayılarla işlem yapan Mert, V10 + 6 sayısını eşleniği
olan 10 -6 ile çarpmak yerine yanlışlıkla bölmüştür.
Buna göre, Mert’in bulduğu sayı, bulması gereken sayı-
dan kaç fazladır?
A) V12
B)
C) V18
D) 20
E) V30

2

Köklü Sayılarda Eşlenik ile Çarpma ve Bölme İşlemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:

İki kare farkı özdeşliği:

(a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2

Paydayı rasyonel yapma kuralı:

\frac{x}{a - b} = \frac{x \cdot (a + b)}{a^2 - b^2}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Bulunması Gereken Sayıyı Hesaplayalım
Mert’in yapması gereken işlem \sqrt{10} + \sqrt{6} sayısını eşleniği olan \sqrt{10} - \sqrt{6} ile çarpmaktı.

(\sqrt{10} + \sqrt{6}) \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{6}) = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2
10 - 6 = 4

Bulunması gereken sayı: 4

Adım 2 — Mert’in Yanlışlıkla Bulduğu Sayıyı Hesaplayalım
Mert bu iki sayıyı çarpmak yerine bölmüştür:

\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{\sqrt{10} - \sqrt{6}}

Bu işlemi yapmak için paydayı eşleniği olan (\sqrt{10} + \sqrt{6}) ile genişletelim:

\frac{(\sqrt{10} + \sqrt{6}) \cdot (\sqrt{10} + \sqrt{6})}{(\sqrt{10} - \sqrt{6}) \cdot (\sqrt{10} + \sqrt{6})} = \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{6})^2}{10 - 6}

Tam kare açılımını yapalım (a^2 + 2ab + b^2):

\frac{10 + 2\sqrt{60} + 6}{4} = \frac{16 + 2\sqrt{4 \cdot 15}}{4} = \frac{16 + 4\sqrt{15}}{4}

Her terimi 4’e böldüğümüzde:

4 + \sqrt{15}

Mert’in bulduğu sayı: 4 + \sqrt{15}

Adım 3 — Aradaki Farkı Bulalım
Soru, Mert’in bulduğu sayının gerçek sonuçtan ne kadar fazla olduğunu sormaktadır:

(4 + \sqrt{15}) - 4 = \sqrt{15}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B seçeneği, \sqrt{15}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Eşlenik

  • Tanım: Köklü bir ifadeyi rasyonel sayıya dönüştüren çarpan. (\sqrt{a} + \sqrt{b}) ifadesinin eşleniği (\sqrt{a} - \sqrt{b})'dir.
  • Bu problemde: Paydadaki köklü ifadeyi kurtarmak için rasyonel yapma adımında kullanılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Köklü Sayılarda Bölme Hatası

  • Yanlış: \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{\sqrt{10} - \sqrt{6}} işlemini sadece kök içlerini bölerek \sqrt{1} gibi düşünmek.
  • Doğru: Toplama veya çıkarma durumundaki köklü ifadelerde bölme işlemi sadece paydanın eşleniği ile genişletilerek rasyonel hale getirilir.
  • Neden Yanlış: Köklü sayılarda toplama/çıkarma işleminin bölme üzerine dağılma özelliği yoktur.

Köklü sayılarda eşlenik çarpımı ile ilgili benzer bir TYT çıkmış soru örneği daha çözmemi ister misin?