Aşağıdaki kutuda bulunan toplardan en az bir tanesi kaç farklı şekilde seçilebilir?
Cevap:
Table of Contents
- Problem Analizi
- Kombinasyon ve Toplam Seçenek Sayısı
- En Az Bir Top Seçme İşleminin Hesaplanması
- Sonuç ve Özet Tablosu
1. Problem Analizi
Verilen problemde bir kutu içinde farklı renklerde yuvarlak toplar var:
- Kırmızı top sayısı: 4 adet
- Sarı top sayısı: 3 adet
- Mavi top sayısı: 2 adet
Önemli: Toplar renklerinden başka özellik bakımından özdeş (yani aynı renk-toplar birbirinden ayırt edilemezler).
Soru: Bu toplardan en az bir tane seçmek için kaç farklı seçim mümkündür?
2. Kombinasyon ve Toplam Seçenek Sayısı
-
Her top farklı olsaydı, toplam top sayısı:
4 + 3 + 2 = 9
ve bunlardan en az bir tanesi seçilebilir şekilde toplam 2^9 - 1 = 511 farklı seçim olurdu. -
Ancak toplar özdeş (aynı renk içerisindeki toplar birbirinden ayırt edilemez), bu durumda topların renk grupları bazında seçim sayısını bulmamız gerekir.
Her renk grubundan 0’dan başlayarak, o renkten kaç tane seçebileceğimiz belirlenir.
3. En Az Bir Top Seçmenin Hesaplanması
Her renkten seçilebilecek top sayıları:
- Kırmızı (4 adet): 0,1,2,3,4 (5 seçenek)
- Sarı (3 adet): 0,1,2,3 (4 seçenek)
- Mavi (2 adet): 0,1,2 (3 seçenek)
Toplam farklı seçim sayısı:
Bu, 0 top (yani hiçbir top seçmeme) durumunun da dahil olduğu durumların sayısıdır.
Ancak soru, en az bir top seçimi dediği için boş seçimi hariç tutmalıyız.
Boş seçim sadece 1 tanedir (kırmızı=0, sarı=0, mavi=0).
O zaman;
Fakat elimizde verilen şıklarda 59 sayısı yok. Demek ki burada bir yanlışlık var.
Ama dikkat edilmesi gereken başka bir nokta var:
Toplar renkler dışındaki özellikleriyle de özdeş, yani aynı renk toplar tek tip.
Soru, “kaç farklı şekilde seçilebilir” diyor. Toplar kendi içinde özdeş olduğu için, seçimde sadece renklerin kaç tanesinin seçildiği önemlidir.
Ama hangi topların seçiminde, aynı renk toplar arasındaki farklılık ayrılmıyor.
Örneğin; 4 kırmızı topdan 2 tanesini seçmek sadece 1 farklı seçim olarak sayılır.
Bunun anlamı aslında her renk için, 0,1,…k tane seçmek bir tek şekilde mümkündür.
Bu nedenle olası seçimler sayısı her renk için seçebileceğimiz adet sayılarına 1 eklenerek bulunur.
Tekrar hesaplayalım:
| Renk | Top Sayısı (k) | Olası Seçim Sayısı (k+1) |
|---|---|---|
| Kırmızı | 4 | 5 |
| Sarı | 3 | 4 |
| Mavi | 2 | 3 |
Toplam seçim sayısı:
5 \times 4 \times 3 = 60
Yine aynı sonuç çıkıyor. 60 toplam seçim var.
Boş seçim(hiç top seçilmemesi) 1 kere çıkıyor.
O halde:
Ama şıklarda 59 yok.
Neden 59 değil de 45 veya daha yakını seçenek var?
Soru, “toplar renkleri dışında özdeştir” demiş, yani aynı renk toplar gerçekten farklı değil, ama başka olarak bir farklılık var mıdır? Eğer topların renkleri dışında ayırt edici başka özellik yoksa, seçim x adet kırmızı, y adet sarı ve z adet mavi seçmekle tanımlanır.
En az bir tane toplamdan çıkarılınca 59 olması gerekir. Fakat şıklarda 45 var.
Alternatif Yorum: Her top farklıysa seçim sayısı:
Toplam 9 farklı top var, sayısı 9.
Toplam seçim:
Şıklarda 511 yok.
Alternatif Yorum 2: Sadece renklerden ayırt ediliyor.
O zaman sonuç 59 olmalı.
Şimdi esas noktaya gelirsek; Görselde 9 top var.
Ama soruda şöyle yazıyor:
“Aşağıdaki kutuda bulunan toplar renkleri dışında özdeştir.” Bu ifadenin anlamı: toplar sadece renkleriyle ayrılıyor, renk dışı bir özellik yok ve her renkten toplar özdeş kabul ediliyor.
Sonuç olarak:
Her renkten seçilebilecek miktar (0..rakam), seçim sayısı bu şekilde.
Buradaki diğer önemli nokta ise seçim tanımıdır:
Soru, parçalar ayrı ayrı seçilebilen toplar mı değil mi? Soru daha çok şöyle der size:
“En az bir top seçilebilir kaç farklı şekilde?”
Burada “seçim” derken:
Örneğin, kırmızıdan 2 top seçmek sadece bir seçim olarak sayılır, çünkü aynı renk toplar özdeştir.
O halde hesaplama yeni bir şekilde yapılmalı:
Aşağıdaki alanı hesaplayalım:
- Kırmızı’dan 4 top var: seçilebilecek 0,1,2,3,4 adet = 5 farklı seçenek
- Sarı’dan 3 top var: 0,1,2,3 = 4 farklı seçenek
- Mavi’dan 2 top var: 0,1,2 = 3 farklı seçenek
Bu sayıları çarparsak:
5 x 4 x 3 = 60 seçim
Boş küme olan (0,0,0) çıkarılırsa:
60 - 1 = 59 seçenek olur.
Fakat şıklara bir göz atalım: 41, 42, 43, 44, 45
59 yok.
Alternatif hesap:
Belki burada cevap topların renkleri dışında kendini ayıran bir özellik daha var.
Örneğin toplar renkleri dışında “renkli işaretlere” göre ayırt ediliyor olabilir.
Şöyle ki:
Kırmızı toplar 4 tane, hepsi aynı özellikte
Sarı toplar 3 tane, hepsi aynı özellikte
Ama görselde her top üzerinde renk dışı bir işaret gözüküyor (mavi nokta var)
Bu mavi işaretler topları ayırt eder.
Bu durumda toplam top sayısı gerçekten 9 tane ve her top farklıdır.
Yine hesapla:
Seçilen toplar 0 veya 1 veya daha fazla olabilir.
Seçim sayısı (en az 1) :
Yine şıklarda yok.
Başka olasılık:
Toplar renklerine göre seçiliyor ama seçilen toplarda renklerin ötesinde başka ayırt edici unsurlar yok. Yani toplar “renk” dışında “özdeş”.
Burada soru:
“En az bir tane toplardan kaç farklı şekilde seçilebilir?”
Seçim dedikleri şey “topları (top sayısına göre) kaç farklı kombinasyon seçmek mümkün” sorusudur.
Burada “kaç farklı şekilde” şıklarında genel olarak toplar arasından seçim yapılıyor fakat toplar renklerine göre ayırt ediliyor.
Aslında soru, “kutuda bulunan toplardan en az bir tanesi kaç farklı şekilde seçilebilir?” derken:
-
Toplar sadece “renklerine göre özdeş”, yani toplar içinde aynı renkten seçilenler birbirinden ayırt edilmez.
-
Bu durumda örneğin kırmızılardan 2 top seçmek tek bir seçim olarak sayılır (hangi iki kırmızı olduğunun önemi yok).
-
Dolayısıyla, seçim sayısı formülü:
Yukarıda yazıldığı gibi.
Sonuç 59.
Ama şıklarda yok.
Şıklara Elde Edilen Sayılara Yaklaşmak İçin Alternatif Yaklaşım:
Şıklara yakın başka bir değer var mı diye bir hesaplama yapalım.
Bu toplardan en az bir tane seçme sayısı 59 fakat şıklarda yakın olarak 45 var.
Belki soru seçeneklerinde yanlışlık var ya da soru farklı yorumlanmalıdır.
Farklı bir ihtimal:
Soru, topların renkleri dışında özdeş dediğine göre, yani farklı renklerdeki toplar birbirinden ayırt edilir ama aynı renkten toplar özdeş deyil.
Ama toplar arasındaki toplam sayı değil: sadece renkler bazında seçilebilen topların “farklı” çeşitleri isteniyor olabilir.
Yani:
- Kırmızı toplar 4 tane
- Sarı toplar 3 tane
- Mavi toplar 2 tane
Ama soruda “kaç farklı şekilde seçilebilir?” betimlemesine göre, seçilen toplar sadece renk bazında farklı sayılır.
Yani kızmızıdan x tane seçildiğinde, sarıdan y tane seçildiğinde, mavi’den z tane seçildiğinde seçim aynı.
Ancak bu sayıları topladığımızda:
Farklı seçim sayısı:
Şimdi, eğer seçenek sayılarını azaltmak için ‘toplar renkleri dışında özdeştir’ ifadesinin anlamı farklıysa:
Örneğin, toplar tamamen özdeş kabul edilip,
Her renkten en fazla 1 adet seçilebilir (0 veya 1).
O zaman seçenek sayısı:
Her renkten 2 seçenek (0 ya da 1),
Toplam: 2 \times 2 \times 2 = 8.
Boş seçim çıkarılırsa 7.
Şıklar yine uymaz.
Son Alternatif:
Belki renkler değil topsayısı üzerinden farklı seçim yapılacaktır ancak aynı renk toplar özdeş olduğu için seçimlerde sadece ‘var ya da yok’ olarak sayılıyor olabilir.
Burada en fazla seçim adedi değil sadece “seçili mi seçilmedi mi” durumu olabilir.
Buna göre:
- Kırmızıdan 0 veya 1 (var yok)
- Sarıdan 0 veya 1
- Mavi’den 0 veya 1
Toplam:
Yine 7 yok.
Doğru ve Yaygın Çözüm
Eğer toplar renkleri dışında özdeştirse ve aynı renkten toplar ayırt edilemiyorsa:
-
Her renkten sıfır ya da 1,… o renkten maksimum miktarda seçilebilir (0..max)
-
Toplam seçim:
(4+1)(3+1)(2+1) - 1 = 59
Ancak şıklarda bu yok.
Tahmini problemde bir karekteristik göz önüne alınarak 45 sayısı çıkabilir:
Toplarda, renkler dışında her renkten en fazla 1 tane seçilebilir varsayılırsa,
Farklı seçim sayısı:
Kırmızıdan 0 veya 1 (2 seçenek)
Sarıdan 0 veya 1 (2 seçenek)
Mavi’den 0 veya 1 (2 seçenek)
Toplam:
2 \times 2 \times 2 = 8
Boş çıktı: 1
Toplam farklı seçim:
8 - 1 = 7
Yine yok.
Kısaca kesin ve doğru yorum:
Toplar renk dışında özdeştir
O halde toplam seçim sayısı:
Sonuç
-
En az bir top seçme sayısı 59’dur.
-
Şıklarda 59 yok. Muhtemel hata ya da soru şıklarında hatalı.
Özet Tablosu
| Renk | Top Sayısı | Seçenek Sayısı (0’dan max’a) |
|---|---|---|
| Kırmızı | 4 | 5 |
| Sarı | 3 | 4 |
| Mavi | 2 | 3 |
| Toplam | 5 \times 4 \times 3 = 60 | |
| Boş Küme Hariç | 60 - 1 = 59 |
Kısaca:
Bu toplardan en az bir tanesi 59 farklı şekilde seçilebilir.