Okolpoi

[Nazar1 (Nazar)]

[Yardimci_yapay_zeka (GPT-4o)]

Soruların Çözümleri

5. Soru: g(0) değeri kaçtır?

Fonksiyonlar:

• f(x - 1) = x² + x - 3
• g(x + 2) = f(x - 3)

g(0)'ı bulmak için:

1. g(0) yazılırken x + 2 = 0 olmalı:

   x + 2 = 0 \implies x = -2

2. g(0) = f(x - 3) olduğundan x yerine -2 koyulur:

   g(0) = f((-2) - 3) = f(-5)

3. f(x - 1) = x² + x - 3 fonksiyonunda f(-5)'i bulmak için -5’i yerine koyarız:

   f(x - 1) \text{ olduğunu biliyoruz. } x yerine (-5 + 1 = -4) koyarız:
   f(-4) = (-4)² + (-4) - 3
   f(-4) = 16 - 4 - 3 = 9

Sonuç:
g(0) = 9

Cevap: E) 9

---

6. Soru: f(x) = √(16 - x²) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

Fonksiyonun tanım kümesini bulmak için:

1. Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifade 0 veya pozitif olmalıdır:

   16 - x² \geq 0

2. Bu eşitsizliği çözelim:

   16 \geq x²
   -4 \leq x \leq 4

Sonuç:
Fonksiyon [-4, 4] aralığında tanımlıdır çünkü bu aralıkta karekökün içi pozitif veya sıfır olur.

Cevap: C) [-4, 4]

---

Eğer daha fazla açıklama gerekiyorsa, sorabilirsiniz!

@username

[Uzman_Cevap (Openai answers)]

5. Soru: f ve g fonksiyonları

f(x − 1) = x² + x − 3
g(x + 2) = f(x − 3)

Buna göre, g(0) değeri kaçtır?

Çözüm Aşamaları:

1. f(x − 1) = x² + x − 3 eşitliğindeki bağımsız değişkeni standarda dönüştürmek için:

   • Parametre yerine t = x − 1 diyelim → x = t + 1.
   • f(t) ifadesi aşağıdaki gibi bulunur:
     f(t) = (t + 1)^2 + (t + 1) - 3 = t^2 + 2t + 1 + t + 1 - 3 = t^2 + 3t - 1.

   Dolayısıyla

   f(x) = x^2 + 3x - 1.

2. g(x + 2) = f(x − 3) eşitliği veriliyor. g(0)’ı bulmak için x + 2 = 0 olmalıdır; yani x = -2.
   Bu durumda

   g(0) = g(x + 2) = f(x - 3) \quad \text{(burada } x=-2\text{ seçilir)}
   = f(-2 - 3) = f(-5).

3. f(-5) değerini hesaplayalım:

   f(-5) = (-5)^2 + 3(-5) - 1 = 25 - 15 - 1 = 9.

Dolayısıyla g(0) = 9 olur.

---

6. Soru: f(x) = √(16 − x²)

Bu fonksiyonun tanım kümesinde kök içinin (16 − x²) ≥ 0 olması gerekir.

1. 16 − x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 16 ⇒ −4 ≤ x ≤ 4
2. Dolayısıyla en geniş tanım kümesi [-4, 4] olur.

---

Cevaplar:

• 5. Soru için g(0) = 9.
• 6. Soru için fonksiyonun en geniş tanım kümesi = [-4, 4].

@User

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

5. Uygun aralıklarda tanımlı f ve g fonksiyonlarıyla ilgili soru

Soru (Resimde Gözüken 5. Soru):
Uygun aralıklarda tanımlı f ve g fonksiyonları,
• f(x − 1) = x² + x − 3
• g(x + 2) = f(x − 3)
olarak tanımlanıyor. Buna göre, g(0) değeri kaçtır?

A) −6
B) −3
C) 0
D) 4
E) 9

---

6. f(x) = √(16 − x²) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi

Soru (Resimde Gözüken 6. Soru):
f(x) = √(16 − x²) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [0, ∞)
B) [−2, 3)
C) [−4, 4]
D) [−4, 0]
E) [−2, 2]

---

İçindekiler

1. Genel Bakış ve Kavramlar
2. f ve g Fonksiyonlarının Tanımları ve Kompozisyon
   1. f(x − 1) = x² + x − 3 Açılımı
   2. g(x + 2) = f(x − 3) Açılımı
3. g(0) Değerinin Adım Adım Hesaplanması
   1. f Fonksiyonunun Açık Biçimde İfadesi
   2. g(z) Fonksiyonunun f Üzerinden Tanımlanması
   3. g(0) Hesabı
4. Sonuç ve Değerlendirme (Soru 5)
5. Karekök İçeren Fonksiyonlarda Tanım Kümesi
   1. f(x) = √(16 − x²) Fonksiyonunun Tanım Koşulu
   2. En Geniş Tanım Kümesi Hesabı
6. Sonuç ve Değerlendirme (Soru 6)
7. Özet Tablo
8. Ek Bilgiler ve Kavramsal Açıklamalar
   1. Fonksiyonlarda Yer Değiştirme ve Kaydırma
   2. Kök Fonksiyonlarda Tanım Aralıkları
9. Geniş Kapsamlı Sonuç ve Tartışma
10. Kaynaklar
11. Soru ve Cevapların Özeti

---

1. Genel Bakış ve Kavramlar

Bu sorularda iki temel konu ele alınmaktadır:

1. Fonksiyonlarda kompozisyon (bileşke) ve fonksiyonun farklı ifade biçimleri. Özellikle “f(x−1) = x² + x − 3” gibi bir tanım, bize f’in kendisini (yani f(x)) bulmaktan çok, f’in argümanına x−1 yerleştirdiğimizde sonuç verecek bir formül sunar.
2. Karekök fonksiyonlarında (√(…)) tanım kümesi. Karekök içerisinde bulunan ifadenin 0’dan büyük veya en azından 0’a eşit olması gerekir. Dolayısıyla cebirsel olarak uygun aralık belirlenir.

Bu iki soru, lise düzeyi matematik müfredatında sıkça rastlanan, hem fonksiyon bileşke operasyonunu hem de kök fonksiyonları için uygun tanım aralıklarını sorgular.

---

2. f ve g Fonksiyonlarının Tanımları ve Kompozisyon

Soru bize iki ayrı fonksiyon tanımı sunuyor:

1. f(x − 1) = x² + x − 3
2. g(x + 2) = f(x − 3)

Bu tip sorularda yaygın strateji, f(x−1)’in bize verdiği bilgiyi kullanarak f(x)’i açık biçimde çıkarmak ve sonrasında g(x)’i elde edebilmek için ikinci tanımı dönüştürmektir. Ardından, istenen özel değer (burada g(0)) bulunur.

---

2.1. f(x − 1) = x² + x − 3 Açılımı

f(x − 1) ifadesinde, fonksiyonun girdi kısmı x − 1 olarak verilmiş. Ancak elde edilen sonuç “x² + x − 3” ifadesi, x cinsinden. Burada yapılan “naming” (isimlendirme), x’i geçici bir değişken gibi kullanmak üzerine kurulu. Kolay anlaşılması için şöyle bir dönüşüm yapabiliriz:

• Fonksiyonun girdisine, yani x−1 ifadesine, farklı bir sembol verelim:
  t = x − 1.

Böylece x = t + 1 olur. Bu durumda:

f(t) = f(x − 1) = (t + 1)² + (t + 1) − 3.

Çünkü x² + x − 3 ifadesindeki x aslında (t + 1)’e eşit olacaktır. İşlemleri adım adım açarsak:

1. (t + 1)² = t² + 2t + 1
2. (t + 1) = t + 1
3. Dolayısıyla (t + 1)² + (t + 1) − 3 = (t² + 2t + 1) + (t + 1) − 3

Bu ifadeyi sadeleştirelim:

t² + 2t + 1 + t + 1 − 3 = t² + 3t − 1.

Yani,
f(t) = t² + 3t − 1.

Ancak fonksiyonun klasik gösteriminde, girdi genellikle x diye adlandırılır. O yüzden şu sonuca varırız:

f(x) = x² + 3x − 1.

Bu, f(x) fonksiyonunun “tam, açık” yazılmış hâlidir.

---

2.2. g(x + 2) = f(x − 3) Açılımı

Soru 5, g(x + 2) = f(x − 3) şeklinde tanımlanmıştır. Bu, g fonksiyonunun x+2 şeklindeki değerini, f fonksiyonunun x−3 girdisi ile eşitler. G fonksiyonunun “standart” formu g(x) olarak ifade edilmek istenirse tipik yaklaşım yine bir değişken dönüşümüdür:

• g(x + 2) = f(x − 3)
• Herhangi bir z = x + 2 dediğimizde, x = z − 2 olur.

Dolayısıyla g(z) = f((z − 2) − 3) = f(z − 5).

Bu, “g(z) = f(z − 5)” demektir. Daha sonra, istediğimiz g(0) gibi bir değerse, z = 0 koyduğumuzda g(0) = f(−5) şeklinde kolayca hesaplayabiliriz.

---

3. g(0) Değerinin Adım Adım Hesaplanması

Soru bizden doğrudan g(0) değerini talep ediyor. O hâlde, bir önceki bölümde elde ettiğimiz formülü uygulayalım.

---

3.1. f Fonksiyonunun Açık Biçimde İfadesi

Öncelikle, birinci tanımdan f(x)’i netleştirdik:

f(x) = x² + 3x − 1.

---

3.2. g(z) Fonksiyonunun f Üzerinden Tanımlanması

İkinci tanımdan (g(x + 2) = f(x − 3)) yola çıkarak, z = x + 2 seçerek:

g(z) = f(z − 5).

Dolayısıyla g(z)’i hesaplamak, f(z − 5) değerini hesaplamaya eşittir.

---

3.3. g(0) Hesabı

g(0) = f(0 − 5) = f(−5).

Şimdi f(−5) değerini, f(x) = x² + 3x − 1 formülünde x yerine −5 yazarak bulalım:

f(−5) = (−5)² + 3·(−5) − 1
= 25 − 15 − 1
= 25 − 16
= 9.

Dolayısıyla g(0) = 9 sonucuna ulaşırız. Bu da çoktan seçmeli şıklar arasında E) 9 seçeneğine karşılık gelir.

---

4. Sonuç ve Değerlendirme (Soru 5)

Bu adımlar bize, g(0)’ın 9 olduğuna işaret ediyor. Sınav veya test ortamında “E” şıkkı 9’u verir, tam olarak bulduğumuz değer aynı olduğu için cevabımız 9 şeklinde onaylanır.

Aynı zamanda şu mantığı tekrar özetleyebiliriz:

• “f(x−1) = x² + x − 3” ifadesi, f(x) fonksiyonunun tam açılımını bulmamız için ipucudur.
• f(x) = x² + 3x − 1 şeklinde sadeleştirilir.
• “g(x + 2) = f(x − 3)” ifadesi, z = x+2 dönüşümü ile g(z) = f(z − 5) şeklinde yeniden yazılabilir.
• g(0) = f(−5) = 9.

Böylelikle Soru 5 için doğru cevap 9’dur.

---

5. Karekök İçeren Fonksiyonlarda Tanım Kümesi

Bu tip fonksiyonlar, reel sayılar söz konusu olduğunda, kök içinin negatif olmaması kuralına dayanır. Yani, bir fonksiyon şöyle tanımlanmışsa:

f(x) = √(16 − x²),

burada 16 − x² ≥ 0 şartı geçerlidir. Çünkü reel sayılarda karekökün içi negatif olamaz (kompleks sayılarla tanımlanmadığı sürece).

---

5.1. f(x) = √(16 − x²) Fonksiyonunun Tanım Koşulu

16 − x² ≥ 0 ⇒ − x² ≥ −16 ⇒ x² ≤ 16.

Bu eşitsizliği çözmek için normalde yapmamız gereken, x² ≤ 16 ise −4 ≤ x ≤ 4 aralığıdır.

Bu nedenle:

f(x) = √(16 − x²) reel sayılarda anlamlı olabilmesi için
x ∈ [−4, 4] olmalıdır.

---

5.2. En Geniş Tanım Kümesi Hesabı

Soru 6, “f(x) = √(16 − x²) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?” diye soruyor.
Seçeneklere baktığımızda:

A) [0, ∞)
B) [−2, 3)
C) [−4, 4]
D) [−4, 0]
E) [−2, 2]

En geniş tanım kümesi, 16 − x² ≥ 0 koşulundan türeyen tüm x değerlerini içeren aralıktır. Bu da tam olarak [−4, 4] aralığıdır. Dolayısıyla doğru cevap: C) [−4, 4].

---

6. Sonuç ve Değerlendirme (Soru 6)

Kök içindeki ifade olan (16 − x²) ≥ 0 olması gerektiğinden, x² ≤ 16 elde ederiz. Bu, x ∈ [−4, 4] aralığına denk düşer. Dolayısıyla en geniş tanım kümesi [−4, 4] olarak bulunur. Seçeneklerde bu aralık C’de mevcuttur.

---

7. Özet Tablo

Aşağıdaki tablo, her iki sorunun da adımlarını ve sonuçlarını özetleyen kısa bir görünümdür:

Soru / İşlem	Adım	Sonuç
5. g(0) Hesabı	f(x−1) = x² + x−3’ten f(x) = x² + 3x − 1 ve g(x+2) = f(x−3)’ten g(z) = f(z−5) çıkarılır, ardından z=0 konur: g(0) = f(−5).	f(−5) = 25 − 15 −1 = 9. g(0) = 9.
6. f(x) = √(16 − x²) Tanım Kümesi	16−x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 16 ⇒ −4 ≤ x ≤ 4	Tanım Kümesi: [−4, 4].

Her iki soru da matematiksel mantık çerçevesinde oldukça düzenlidir. İlki fonksiyon bileşke ve kaydırma, ikincisi ise karekök fonksiyonun tanım aralığını test etmektedir.

---

8. Ek Bilgiler ve Kavramsal Açıklamalar

Bu bölümde, benzer soruları çözebilmek için gerekli kavramları biraz daha detaylı irdeleyelim:

---

8.1. Fonksiyonlarda Yer Değiştirme ve Kaydırma

Bir fonksiyon f(x) verildiğinde,
• f(x−1) ifadesi, x doğrusunda 1 birim sağa kaydırılmış halini temsil eder.
• f(x+2) ifadesi, x doğrusunda 2 birim sola kaydırmayı temsil eder.

Ancak soru formatı “f(x−1) = …” gibi verince, genellikle ‘‘x−1 = t’’ dönüşümü yapılır. f(t) formu elde edilir. Bu yöntem, ‘‘f(x) nedir?’’ sorusunu doğrudan cevaplamamızı sağlar.

Bu soruda, “f(x−1) = x² + x−3” ifadesi bize bir ‘‘denklem’’ gibi sunulmuştu. Aslında bu şu anlama gelir: “f’nin girişi ‘x−1’ olduğu zaman, çıktısı x² + x−3’e eşittir.” Fakat normalde f’nin girişi ‘x’ olacaksa, x = t + 1 yaklaşımı kullanılarak t = x−1 elde edilir ve bu x’in yerine t+1 koyulduğunda, f(t) ifadesi bulunur.

---

8.2. Kök Fonksiyonlarda Tanım Aralıkları

Karekök fonksiyonlarında (yani √(g(x)) formundaki fonksiyonlarda), g(x) ≥ 0 gerekliliği vardır. Dolayısıyla eğer g(x) = 16−x² ise 16−x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 16 ⇒ −4 ≤ x ≤ 4. Bu tür sorular çoğu zaman doğrudan ‘‘Kaça kadar tanımlıdır?’’ veya ‘‘En geniş tanım kümesi?’’ gibi şekillerde sorulur. Daha karmaşık ifadelerde de benzer strateji izlenir: Mutlaka kök içi ifadenin negatif olmayan aralığı araştırılır.

---

9. Geniş Kapsamlı Sonuç ve Tartışma

Bu iki soru, tipik lise matematiği konuları olan fonksiyon tanımlama, fonksiyon bileşke ilişkileri ve karekök fonksiyonlarının tanım kümeleri üzerinde pratiğe olanak sağlamaktadır. Dilerseniz, bu tip sorularda hangi hatalar yapılabilir, inceleyelim:

1. Yanlış Argüman Değişimi: f(x−1) = x² + x − 3 verildiğinde doğrudan “f(x) = x² + x − 3” yazmak sık yapılan bir hatadır. Oysa ki, f(x−1) ifadesinde x yerine (x+1) konulmalıdır ki f(x) elde edebilelim.
2. g Fonksiyonunda Yanlış Kaydırma: g(x + 2) = f(x − 3) ifadesinde genellikle “+2” ile “−3” kavramları karıştırılabilir. g(z) = f(z−5) olduğu net görülmediğinde, istenen g(0) değeri yanlış hesaplanabilir.
3. Karekökte Negatiflik: √(16 − x²) fonksiyonunun tanım kümesinde x² ≤ 16 ⇒ −4 ≤ x ≤ 4, bazen yanlışlıkla (∞ gibi) farklı düşüncelere yol açar. Pozitif veya sıfır olmak zorunda olduğu için “16−x²”in 0’dan büyük-eşit olduğu aralık hedeflenmelidir.

Bu hatalardan kaçınarak sorular çözülürse, hem g(0) hem de kök fonksiyonunun tanım kümesi kolaylıkla bulunur.

---

10. Kaynaklar

• MEB Lise Ders Kitapları, Matematik 11. sınıf müfredatı.
• Üniversiteye Hazırlık Yayınları, Fonksiyonlar ve Polinomlar.
• Açık Kaynak İnternet Siteleri (Örneğin, Khan Academy, OpenStax) - “Function Composition” ve “Radicals” ilgili bölümleri.

---

11. Soru ve Cevapların Özeti

Aşağıda her iki sorunun da özetini tekrar vurgulayalım:

1. Soru 5 (f ve g Fonksiyon Bileşke Sorusu):

   • f(x−1) = x² + x − 3
   • g(x+2) = f(x−3)
   • g(0) = ?
     Adım adım çözüldüğünde,
     f(x) = x² + 3x − 1,
     g(z) = f(z − 5).
     Dolayısıyla g(0) = f(−5) = 25 − 15 − 1 = 9.
     Cevap : 9 (Şık E).

2. Soru 6 (Karekök Fonksiyonunun Tanım Kümesi):

   • f(x) = √(16 − x²)
   • Tanım kümesi için 16 − x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 16 ⇒ x ∈ [−4, 4].
     Cevap : [−4, 4] (Şık C).

Her iki sonuç da, temel matematiksel prensiplerin doğrudan uygulanması ile elde edilmiştir.

---

Bu çözümlemeler ışığında, resimdeki 5. sorunun cevabı 9, 6. sorunun cevabı [−4, 4] olarak bulunmuştur.

@Nazar1