- a, b ve c pozitif doğal sayılardir.
OKEK(a, b, c) = 120
olduğuna göre, a+b+ctoplamı en çok kaçtır?
A) 360 B) 420 C) 480 D) 520 E) 560
OKEK Verilen Üç Sayının Toplamının En Büyük Değeri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Ortak Katların En Küçüğü (OKEK / EKOK), verilen sayıların her birine tam bölünen en küçük pozitif tam sayıdır:a \mid \text{OKEK}(a, b, c), \quad b \mid \text{OKEK}(a, b, c), \quad c \mid \text{OKEK}(a, b, c)
- Dolayısıyla a, b, c pozitif tam sayıları en fazla bu OKEK değerine eşit olabilir:a \le \text{OKEK}(a, b, c), \quad b \le \text{OKEK}(a, b, c), \quad c \le \text{OKEK}(a, b, c)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların Alabileceği En Büyük Değerlerin Belirlenmesi
Soruda a, b ve c sayılarının birbirinden farklı olduğuna dair bir koşul belirtilmemiştir. Bu nedenle toplamın en büyük (maksimum) olması için sayıların her biri birbirinden bağımsız olarak en büyük değerinde seçilebilir.
Bir sayının kendisi, kendi katından büyük olamayacağından:
a \le 120, \quad b \le 120, \quad c \le 120
Adım 2 — En Büyük Toplamın Hesaplanması
Toplamı en çok yapmak için sayıların üçü de 120 olarak seçilir:
a = 120
b = 120
c = 120
Bu durumda şart sağlanır:
\text{OKEK}(120, 120, 120) = 120
Buradan toplam:
a + b + c = 120 + 120 + 120 = 360
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 360
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- OKEK (En Küçük Ortak Kat): Bir grup pozitif tam sayının ortak katı olan en küçük pozitif tam sayıdır. Bir sayı, dahil olduğu kümenin OKEK’inden daha büyük bir değere sahip olamaz.
- Birbirinden Farklı Şartı: Soruda “farklı” ifadesi geçmediği sürece bilinmeyenlerin aynı sayı olabileceği unutulmamalıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Soruda “farklı” demediği halde sayıları 120, 60, 40 gibi farklı bölenler olarak seçip toplamı 220 bulmak veya OKEK değerinden daha büyük sayılar seçmeye çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Sayıların birbirinden farklı olma zorunluluğu yoksa, maksimum toplam için her birini doğrudan verilen OKEK değerine eşit (120) almaktır.
Benzer bir mantıkla, bu sayılar birbirinden farklı olsaydı toplamın en çok kaç olacağını bulmak ister misin?