Oğuz aydın

YKS TYT
1

17473389461914898962673777598628
174733894619148989626737775986284096×2304 254 KB

2

Bir karenin alanı 144 cm²’den büyük, bu soruya göre çözüm aşağıdaki gibi ilerler:

Soru Analizi:

Bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesi olarak bulunur. Yani:

\text{Alan} = a^2

Burada, karenin alanı 144 cm²’den büyük olduğu belirtilmiş. Bu durumda şu eşitsizlik geçerli:

a^2 > 144

Bu eşitsizlikten karenin bir kenar uzunluğunu bulmamız gerekiyor.

Adım Adım Çözüm:

  1. Eşitsizlikten karekök alınarak kenar uzunluğu bulunur:
    $$a^2 > 144$$ olduğundan, eşitsizlikte karekök alınır:

    a > \sqrt{144}

    Karekökle işlem yapıldığında:

    a > 12

    Yani bir kenar uzunluğu 12’den büyük olmalıdır.

  2. Doğru cevap seçeneklerden belirlenir:

    • A seçeneği: (x < 12), yanlış çünkü kenar uzunluğu 12’den küçüktür diyor.
    • B seçeneği: (x > 12), doğru çünkü kenar uzunlukları 12’den büyüktür.
    • C seçeneği: (x \leq 12), yanlış çünkü kenar uzunluğu 12’den büyük olmalıdır.
    • D seçeneği: (x \geq 12), yanlış çünkü eşitlik durumu geçerli değildir.

Doğru Cevap: B) x > 12

Eşitsizlik Sonuç
(a > 12) Bir kenar uzunluğu 12’den büyük olmalıdır.
Doğru Cevap: B Seçeneği

Sorunuzun çözümü tamamlandı! Eğer başka sorularınız varsa yardımcı olabilirim. :blush: @Egemenerdem_Akbulut

3

Bir karenin alanı 144 cm²’den büyüktür. Bu karenin bir kenar uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) x < 12
B) x > 12
C) x ≤ 12
D) x ≥ 12

Cevap:
Kare şeklindeki bir şeklin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşittir. Bu nedenle eğer karenin alanı 144 cm²’den büyükse, denklemi şu şekilde kurarız:

  1. Karenin kenar uzunluğu = x
  2. Karenin alanı = x²
  3. Verilen bilgiye göre:
    x² > 144

Buradan x² > 144 olması için x’in 12’den büyük olması gerekir. Bu durumda kenar uzunluğunun “x > 12” olması zorunludur. Dolayısıyla doğru cevap B şıkkıdır.

İçindekiler

  1. Alan Hesabının Mantığı
  2. Temel Terimler
  3. Adım Adım Çözüm
  4. Özet Tablo
  5. Sonuç ve Özet

1. Alan Hesabının Mantığı

Bir karenin alanı, bir kenarının uzunluğunun karesi (x²) olarak tanımlanır. Eğer bu alan 144 cm²’den büyükse, x² > 144 anlamına gelir.

2. Temel Terimler

  • Kare: Dört kenarı birbirine eşit ve iç açılarının her biri 90° olan dörtgendir.
  • Alan (A): Karenin kapladığı bölgenin büyüklüğüdür. Formülü A = x² (x: bir kenar uzunluğu).
  • Eşitsizlik (>): Matematikte büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru “büyüktür” veya “küçüktür” ilişkisini gösterir.

3. Adım Adım Çözüm

  1. Karenin alan formülü: A = x².
  2. x² > 144 olması isteniyor.
  3. Kareköklü düşünürsek: x > √144.
  4. √144 = 12 olduğundan x > 12 sonucu elde edilir.

4. Özet Tablo

Verilen Koşul Matematiksel Gösterim Sonuç
Alan 144 cm²’den büyüktür x² > 144 x > 12
Karşılaştırma x² - 144 > 0 √144 = 12
Doğru Seçenek – B) x > 12

5. Sonuç ve Özet

Bir karenin alanı 144 cm²’den büyükse, kenar uzunluğu 12 cm’den büyük olmak zorundadır. Bu nedenle sorunun cevabı B) x > 12 şeklindedir.

@Egemenerdem_Akbulut

4

Bir karenin alanı 144 cm²’den büyüktür. Bu karenin bir kenar uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevap:
Bir karede kenar uzunluğu “x” olmak üzere alan A = x^2 şeklinde ifade edilir. Eğer alan 144 cm²’den (yani 144) büyükse, aşağıdaki eşitsizlik geçerli olmalıdır:

x^2 > 144

Bu eşitsizliği çözmek için her iki tarafın karekökünü alırız. Dolayısıyla:

x > \sqrt{144}
x > 12

Dolayısıyla kareyi tanımlayan kenar uzunluğu 12 cm’den büyük olmalıdır. Seçeneklerde bu ifade “x > 12” şeklinde sunulduğundan, doğru cevap B) x > 12 olmaktadır.

İçindekiler Tablosu

  1. Kare ve Temel Özellikleri
  2. Matematiksel Arka Plan
  3. Adım Adım Çözüm
  4. Sıkça Sorulan Sorular
  5. Örnekler ve Genişletilmiş Açıklamalar
  6. Tablo ile Özet Karşılaştırma
  7. Ek Açıklamalar ve İpuçları
  8. Kısa Özet
  9. Kaynaklar

1. Kare ve Temel Özellikleri

  • Tanım: Kenarlarının tümü birbirine eşit olan dörtgenlere “kare” denir.
  • Açıları: Karede her açı 90°’dır, yani tüm iç açıları dik açıdır.
  • Alan Hesabı: Bir karenin alanı, tek bir kenar uzunluğunun karesi şeklinde ifade edilir. Örneğin, kenar uzunluğu x ise alan $A = x^2$’dir.

Kare, geometri ve günlük hayatta sıkça karşımıza çıkan temel bir şekildir. Dört eşit kenar ve dört dik açı barındırır. Çevre hesaplamak istediğimizde “4x” formülü, alan hesaplamak istediğimizde ise “$x^2$” formülü kullanılır.

2. Matematiksel Arka Plan

Bir geometrik şeklin (kare, dikdörtgen, daire vb.) alanını ve kenarlarını ilişkilendiren formüllerin temeli, sayılar ve cebirle ilgili temel kuralları bilmeye dayanır. Burada özellikle:

  1. Karekök Alma: x^2 = 144 eşitliğinde x = 12 bulunur ancak x^2 > 144 denklemini çözerken x değeri 12’den büyük ise alanın 144’ten büyük olduğu anlaşılır.
  2. Pozitiflik: Kenar uzunlukları negatif olamayacağından, x^2 > 144 çözümünde x > 12 şeklinde pozitif yön dikkate alınır.
  3. Eşitsizlikler: Bir alanın bir değerden büyük olması, o değerin kareköküyle elde ettiğimiz kenar uzunluğundan daha büyük bir kenara işaret eder.

Bu soru özelinde, 144 sayısı kare sayılardan biridir (12^2 = 144). Dolayısıyla, kare şeklindeki bir cismin alanının 144 cm²’den daha büyük olması demek, kenar uzunluğunun 12 cm’den büyük olması gerektiğinin en temel ifadesidir.

3. Adım Adım Çözüm

Adım 1: Alan ve Kenar Arasındaki İlişki

Karenin alanı formülü:

A = x^2

Burada A alanı, x ise kenar uzunluğudur.

Adım 2: Verilen Bilgiyi Denkleme Dönüştürme

Soru, “bir karenin alanı 144 cm²’den büyüktür” diyor. Yani,

x^2 > 144

Adım 3: Karekök Alarak Çözüm

Eşitsizliği $x^2$’den $x$’e dönüştürmek için karekök almanız gerekir:

x > \sqrt{144}

Burada \sqrt{144} = 12 olduğundan:

x > 12

Adım 4: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştırma

Seçenekler genellikle şu şekilde verilmiştir:
A) x < 12
B) x > 12
C) x \leq 12
D) x \geq 12

Denklem sonucunuz x > 12 olduğundan doğru yanıt B şıkkıdır.

4. Sıkça Sorulan Sorular

  1. Kenar uzunluğu 12 olabilir mi?
    Hayır, “karenin alanı 144 cm²’den büyük” diyor, dolayısıyla tam 12 olduğunda alan 144 cm² olur. Sorumuz “büyük” dediği için 12’den daha büyük olmalıdır.

  2. Neden negatif değerleri düşünmüyoruz?
    Geometride bir kenar uzunluğu negatif olamayacağından x < 0 seçenek dışıdır.

  3. Bu tür eşitsizlikler başka nerede kullanılır?
    Özellikle dairenin “yarıçapı”, üçgenin “yüksekliği” gibi uzunluk ve alan ilişkilerinde, benzer mantıkla eşitsizlikler oluşturulabilmektedir.

5. Örnekler ve Genişletilmiş Açıklamalar

Örnek 1:

Bir karenin alanı 100 cm²’den büyükse kenar uzunluğu hangi değerleri alır?

  • Alan 100’den büyükse: x^2 > 100
  • Dolayısıyla x > 10

Bu kurala bakarak, kenar uzunluğunun 10’dan büyük olması gerektiğini söyleyebiliriz.

Örnek 2:

Bir karenin alanı 25 cm²’den küçükse, kenar uzunluğu nasıl olmalıdır?

  • “25 cm²’den küçük” ifadesi için: x^2 < 25
  • Dolayısıyla x < 5
  • Kare kenar uzunluğu negatif olamayacağına göre, 0 < x < 5 aralığını esas alırız.

Her iki örnek de, bu soruda olduğu gibi karekök alma ve eşitsizlikleri kullanma kuralıyla çözümlenir.

6. Tablo ile Özet Karşılaştırma

Aşağıdaki tabloda, karenin alanının farklı durumları ve buna bağlı olarak kenar uzunluğunun karşılık geldiği eşitsizlikler yer almaktadır:

Durum Matematiksel İfade Kenar Uzunluğunun Eşitsizliği
Karenin alanı 144 cm²’den büyük x^2 > 144 x > 12
Karenin alanı 144 cm²’den küçük x^2 < 144 x < 12
Karenin alanı 144 cm²’ye eşit x^2 = 144 x = 12
Karenin alanı bir başka sayıdan, örn. k cm²’den büyük/küçük x^2 > k veya x^2 < k x > \sqrt{k} veya x < \sqrt{k}

Yukarıdaki tablo, sadece 144 sayısı için değil, genel anlamda farklı alan büyüklüklerinde de benzer bir mantığın nasıl kullanılacağını gösterir. Sorudaki spesifik durum ise, k=144 alındığında kenar uzunluğunun 12’den büyük olması gerektiğini net bir biçimde ortaya koyar.

7. Ek Açıklamalar ve İpuçları

  • Eşitsizliği Doğru Yorumlama: x^2 > 144 cümlesi yalnızca bir sayı mantığı değildir, aynı zamanda geometrik bir kısıtlamadır. Sayısal olarak, x > 12 cevabını alsanız da, pratikte $x$’in ölçü biriminin cm olduğunu ve negatifin mümkün olmadığını unutmamak gerekir.
  • Metinsel İfadeler: Bazen sorularda “daha büyük”, “daha küçük” veya “en az”, “en fazla” gibi ifadeler çıkar. Örneğin, “en az 144 cm²” demek x^2 \ge 144 anlamına gelir ve bu durumda x \ge 12 olacaktır.
  • İkinci Derece Denklemler: x^2 > 144 ifadesi aslında bir ikinci derece eşitsizliktir. Her ne kadar 12 gibi tam bir kare sayısıyla çalışmak kolay olsa da, kare kökü tam çıkmayan sayılarla (örneğin 150, 200 vb.) da benzeri adımları uygulayabilirsiniz.
  • Birimler: Soruya verilen 144 değeri “cm²” cinsindendir. Kenar ise “cm” cinsinden değerlendirilir. Dolayısıyla birim dönüşümlerine dikkat etmek önemlidir (örneğin bazı durumlarda metre, kilometre gibi farklı birimler de kullanılabilir).

8. Kısa Özet

  • Soru: Bir karenin alanı > 144 cm² ise kenar uzunluğu ne olabilir?
  • Çözüm: x^2 > 144 \implies x > 12.
  • Seçenekler: Yanıt, 12’den kesinlikle büyük bir değeri ifade eder.
  • Doğru Şık: B) x > 12.

Alan ve kenar arasındaki ilişki temelinden hareketle, bir kare şeklinin kenar uzunluğunun 12 cm’den büyük olması gerekir. Böylece alan, 144 cm² üzerinde kalır.

9. Kaynaklar

  • Açık Ders Malzemeleri ve Ortaöğretim Matematik MEB Kaynakları.
  • OpenStax – Elementary Algebra (İngilizce içerik, temel cebir konuları).
  • Ortaokul ve Lise Matematik Müfredatı (Kare, dikdörtgen, üçgen konularında alan ve çevre hesaplama).

@Egemenerdem_Akbulut