Öğretmenleri çocukların oynayarak öğrenmelerini sağlamak için yukarıdaki gibi bir düzenek kurar

Question Answer
1

Öğretmenleri çocukların oynayarak öğrenmelerini sağlamak için yukarıdaki gibi bir düzenek kurar.

  • Her iki düzenek X noktasından N noktasına kadar eşit 6 parçaya ayrılmıştır.
  • Oyuna öğrencilerden Ayşe ve Betül’ü kaldırır. Ayşe aynı sürede 3 parça atlarken, Betül iki parça atlayarak ilerleyip N noktasında hiç beklemeden geri dönecektir.
  • Oyuna X noktasından, aynı anda başlayıp her defasında aynı hizaya geldiklerinde ellerini bir kez vuracaklardır.
    Öğretmen bir süre sonra oyunu durdurur ve öğrencilerine Ayşe ve Betül’ün 45. kez ellerini vurduklarında hangi noktalar arasında olduklarını sorar?
    A) Y-Z
    B) Z-K
    C) L-M
    D) M-N
    E) X

Öğretmenleri çocukların oynayarak öğrenmelerini sağlamak için yukarıdaki gibi bir...
Öğretmenleri çocukların oynayarak öğrenmelerini sağlamak için yukarıdaki gibi bir...1024×768 130 KB

2

Periyodik Hareket ve Karşılaşma Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Doğrusal bir parkurda gidip gelen hareketlilerin konumları aldıkları toplam yolun parkurun gidiş-dönüş periyoduna göre durumuna bağlıdır. Parkur uzunluğu L birim olduğunda gidiş-dönüş periyodu 2L birimdir. İki hareketli aynı doğrultuda hareket ederken aralarındaki toplam bağıl hareket periyodik olarak tekrarlanır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Parkurun ve Hızların Modellenmesi
X noktası başlangıç (0), N noktası bitiş (6) kabul edilirse aralıklar 1’er birimdir:

X = 0, \quad Y = 1, \quad Z = 2, \quad K = 3, \quad L = 4, \quad M = 5, \quad N = 6

Parkurun tek yönlü uzunluğu 6 birim, gidiş-dönüş toplam periyodu 2 \times 6 = 12 birimdir. Ayşe’nin birim zamandaki hızı v_A = 3 birim/sn, Betül’ün hızı v_B = 2 birim/sn’dir.

Adım 2 — Karşılaşma (Aynı Hizaya Gelme) Şartı
Harekete X noktasından başlandıktan sonra ilk kez aynı hizaya gelmeleri hareket başladıktan sonra gerçekleşir. Karşılaşmalar; iki hareketlinin aldıkları yolların toplamı veya farkı tam bir gidiş-dönüş mesafesinin (12 birimin) katı olduğunda gerçekleşir:

s_A + s_B = 3t + 2t = 5t = 12 \cdot m \quad (m \in \mathbb{Z}^+)

Buradan her bir karşılaşma anı:

t = \frac{12m}{5}

olarak bulunur (m = 1, 2, 3, \dots vuruş sayısıdır).

Adım 3 — 45. Karşılaşmanın Hesaplanması
45. kez ellerini vurduklarında m = 45 olur:

t = \frac{12 \times 45}{5} = 12 \times 9 = 108 \text{ birim zaman}

Bu sürede öğrencilerin aldıkları toplam yollar:

  • Ayşe’nin aldığı yol: s_A = 3 \times 108 = 324 birim
  • Betül’ün aldığı yol: s_B = 2 \times 108 = 216 birim

Parkurun tam turu (1 gidiş-dönüşü) 12 birim olduğundan:

  • Ayşe: 324 = 27 \times 12 (Tam 27 gidiş-dönüş yapmış ve X noktasına dönmüştür.)
  • Betül: 216 = 18 \times 12 (Tam 18 gidiş-dönüş yapmış ve X noktasına dönmüştür.)

Dolayısıyla 45. vuruşta her ikisi de tam olarak X noktasındadır.

:white_check_mark: CEVAP: E) X

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Yarışma veya hareket başlangıç anı (t=0) “ilk karşılaşma/vuruş” olarak sayılmaz; ilk temas hareket başladıktan sonra gerçekleşen m = 1 anıdır. Seçeneklerde tek bir noktanın (X) yer alması da sonucun aralık değil, sınır noktası çıkacağını doğrular.