- Matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki ifadeyi yazmış ancak mutlak değerin sağ tarafındaki çizgiyi koymayı unutmuştur.
|x + 5 - 8 + 2 - 4 = 3
Öğretmen, öğrencilerine bu eşitliği sağlayan x değerleri toplamının 6 olduğunu söylemiştir.
Buna göre mutlak değerin sağ çizgisi hangi sayının hemen sağına yerleştirilmelidir ki öğretmenin dediği doğru olsun?
A) x
B) 5
C) 8
D) 2
E) 4 - Bir tekstil fabrikasının yeni sezon için üretmeyi planladığı üç ürünün kumaş kesim, dikiş ve paketleme aşamalarının kaç gün sürdüğüne dair bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir.
|1--- | 1—: | 1---: | 1—: |
| Ürün A | x | x | z |
| Ürün B | z | y | y |
| Ürün C | x | z | y |
Bu üç aşamayı geçen ürünlerin dikiş ve paketleme aşamalarında geçen toplam süreleri içinde en uzun süre Ürün C’ye ait olduğuna göre x, y ve z doğal sayıları için aşağıda verilen sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) y < x < z
B) x < z < y
C) z < y < x
D) x < y < z
E) y < z < x
Mutlak Değerli Denklemlerde Kökler Toplamı ve Eşitsizlik Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: c > 0 olmak üzere |x - a| = c biçimindeki mutlak değerli denklemlerde kökler x_1 = a + c ve x_2 = a - c olup, kökler toplamı daima x_1 + x_2 = 2a bağıntısıyla bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
8. Sorunun Çözümü:
Adım 1 — Mutlak Değer İçi ve Dışı İfadeleri Belirleme
Tahtadaki ifade: |x + 5 - 8 + 2 - 4 = 3. Mutlak değerin sağ çizgisi bir terimin sağına konulduğunda denklem |x + k| + m = 3 \implies |x + k| = 3 - m şeklini alır. Bu denklemi sağlayan x değerlerinin toplamı 2 \cdot (-k) = 6 \implies k = -3 olmalıdır. Dolayısıyla mutlak değerin içinde x - 3 ifadesi kalmalıdır.
Adım 2 — Çizginin Yerleştirileceği Sayıyı Bulma
- 8 sayısının sağına yerleştirilirse:|x + 5 - 8| + 2 - 4 = 3 \implies |x - 3| - 2 = 3 \implies |x - 3| = 5Buradan x - 3 = 5 \implies x = 8 ve x - 3 = -5 \implies x = -2 elde edilir.
Kökler toplamı: 8 + (-2) = 6 olur ve öğretmenin ifadesi doğrulanır.
10. Sorunun Çözümü:
Adım 1 — Dikiş ve Paketleme Sürelerini İfade Etme
Tabloya göre her bir ürünün dikiş ve paketleme aşamalarında geçen toplam süreler:
- Ürün A: x + z
- Ürün B: y + y = 2y
- Ürün C: z + y
Adım 2 — Sıralamayı Belirleme
En uzun süre Ürün C’ye ait olduğuna göre:
- z + y > x + z \implies y > x (veya x < y)
- z + y > 2y \implies z > y
Bu iki eşitsizlik birleştirildiğinde doğru sıralama elde edilir:
x < y < z
CEVAP:
- 8. Soru: C) 8 (Sağ çizgi 8 sayısının hemen sağına konulmalıdır: |x + 5 - 8| + 2 - 4 = 3)
- 10. Soru: D) x < y < z
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: |x - a| = c (c > 0) denklemlerinde kökler a sayısına eşit uzaklıkta simetrik yer aldığından, kökleri tek tek bulmadan kökler toplamının doğrudan içini sıfır yapan değerin iki katı (2a) olduğunu bilmek sınavda ciddi zaman kazandırır.