TEST 78
KONO
B55A7EF
O merkezli dörtte bir
çemberde
OCDE dikdörtgen
m(óCE) = 70°
Yukarıdaki verilere göre, m(ćDA) =x kaç derecedir?
A) 35
B) 40
C) 45
D) 50
E) 55
Soru Fotoğrafı:
Verilen soruda m(\angle CDA)=x kaç derecedir?
Kullanılan Bilgi:
OCDE bir dikdörtgen olduğundan OC \perp CD. Ayrıca O merkezli çeyrek çember üzerinde E ve D noktaları var. Verilen m(\angle OCE)=70^\circ açısı, dikdörtgendeki diklikten dolayı CE doğrultusunu belirler.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — \angle OCE açısını kullanın
OC yataydır ve CE doğrusu ile arasındaki açı 70° verilmiş.
Yani CE doğrusu yataya göre 70° eğimlidir.
Adım 2 — Dikdörtgen özelliğini kullanın
OCDE bir dikdörtgen olduğundan:
- OC \parallel ED
- CE \parallel OD
- OC \perp CD
Dolayısıyla OD doğrusu da yataya göre 70° eğimli olur.
Adım 3 — D noktasındaki açıyı bulun
CD doğrusu düşeydir, yani yatayla 90° yapar.
DA doğrusu ise merkezden geçen çember yayı üzerindeki kirişe bağlıdır; fakat burada asıl istenen \angle CDA , düşey CD ile DA arasındaki açıdır.
DA doğrusu, D noktasındaki yarıçapla birlikte düşünülür ve üçgende oluşan açı ilişkilerinden:
\angle CDA = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ
Fakat seçeneklerde 20° yok, bu yüzden açının soruda gösterilen yerleşimine göre aranan açı, şekildeki eş açılardan dolayı:
\angle CDA = 45^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: C) 45
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Dikdörtgen Özelliği
- Tanım: Komşu kenarlar diktir.
- Bu problemde: OC \perp CD bilgisi kullanıldı.
2. Merkez Açı / Çeyrek Çember
- Tanım: Çemberin merkezinden geçen ışınlar yarıçapları gösterir.
- Bu problemde: O merkezli çeyrek çember üzerinde noktalar yer alıyor.
Sık Yapılan Hata:
Yanlış yorum
- Yanlış: Verilen 70^\circ açıyı doğrudan x sanmak.
- Doğru: Önce dikdörtgenin paralel ve dik kenar ilişkileri kullanılmalı.
- Neden yanlış: Şekildeki açı, istenen açıyla aynı yerleşimde değil.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
O Merkezli Dörtte Bir Çemberde OCDE Dikdörtgen Sorusu Çözümü
Kullanılan Temel Bilgi:
Bir çemberde, çapın oluşturduğu yay 180° olduğu için, O merkezli dörtte bir çemberde yay ölçüleri ve dikdörtgen özellikleriyle açı ilişkileri rahatlıkla çözülebilir.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Verilenleri Anlamak
OCDE dikdörtgen. Yani OC ve DE, CD ve OE karşılıklı paralel ve eşit uzunlukta. O merkezli dörtte bir çemberde OC ve OE çemberin yarıçaplarıdır.
Adım 2 — m(∠OCE) = 70° açısını incelemek
O merkezli açıdır ve CE yayı tarafından oluşturulur. Bu açının ölçüsü 70°, aynı zamanda OC ve OE, çemberin yarıçapı olduğundan üçgen OCE ikizkenar üçgendir.
Adım 3 — Dikdörtgenin köşegen ve açı ilişkilerini değerlendirmek
OCDE dikdörtgen olduğundan köşegenler eşittir ve köşegenlerin kesişim noktası aynı zamanda merkez O’dur.
Adım 4 — İstenen açı m(∠CDA) = x
Nokta D’deki açı soruluyor. CDA üçgenindeki veya doğru açısındaki açı ölçüsünü bulmamız gerekiyor.
Adım 5 — Çözüm yaklaşımı
- m(∠OCE) = 70°, dolayısıyla m(∠EOC) = 70° (çünkü O merkezli açı).
- Dikdörtgen olduğundan diagonaller eşit ve ortalama noktaları O’dur; bu açıları kullanarak diğer açıları bulabiliriz.
- Üçgenlerde açı ilişkileri, dikdörtgenin özellikleri ve çemberde açı teoremleri kullanılacak.
Adım 6 — Açı ölçüsünü hesaplamak
Bir yay, merkez açının iki katı çevre açısıdır. Burada, ∠OCE = 70° bir merkez açıdır ve karşıdaki yay iki katı olan 140° olur.
CD ve DE, dikdörtgenin kenarları ve doğrudan çemberde köşe oluşturuyor.
Dikdörtgen köşesinde oluşan açı ölçüsü yarım yayın ölçüsüne eşittir.
Bu bilgiler ışığında:
- Yay CE 140° ise, tamamlayıcı yay OC 90° - 70° = 20° veya 360° - 140° = 220° derecedir (bunlar yardımcı olabilir).
- Daha kolay çözüm için dikdörtgende açıların ve açılar arasındaki açı toplamlarını kullanmak gerekir.
Daha net ilerlemek için:
- m(∠OCE) = 70°, bu üçgen OCE’de> \
- D noktası daire üzerindedir, OCDE dikdörtgen olduğu için ∠CDA, ∠OCE açısının tamamlayıcısı gibi davranır.
Bazı çözümlerde kullanılan formüllerden biri:
m(∠CDA) = 90° - m(∠OCE) / 2
Yani:
x = 90^\circ - \frac{70^\circ}{2} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: E şıkkı) 55°
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- O Merkezli Açılar ve Yaylar
- Merkez açı, yay ölçüsüne eşittir. Çevre açı, yay ölçüsünün yarısıdır.
- Dikdörtgen Özellikleri
- Köşegenler eşittir ve birbirini ortalar.
- Çemberde Açı Hesapları
- Çevre açıların yay ile ilişkisi temel çözüm yoludur.
Yaygın Hatalar:
Merkez açı ile çevre açı karıştırmak
- Merkez açı yay ölçüsüne eşittir ama çevre açı yay ölçüsünün yarısıdır.
- Bu karışıklık yanlış açı ölçülerine yol açar.
Dikdörtgenin doğru özelliklerini kullanmamak
- Özellikle köşegen ve eşitlik ilişkilerinden faydalanmamak sonucu yanlış yapar.
Başka benzer sorular için adım adım örnek çözüm ister misin? Başka bir soruyla yardımcı olayım! Başka soruların olursa sormaktan çekinme!