soruyu detaylı bir şekilde çöz
O Merkezli Çeyrek Daire ve Üçgende Alan Eşitliği Sorusu
[KULLANILAN FORMÜLLER:]
- Çeyrek Dairenin Alanı: A_{daire} = \frac{\pi \cdot r^2}{4}
- Dik Üçgenin Alanı: A_{\ddot{u}çgen} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Değişkenlerin ve Alanların Tanımlanması
Görseldeki bilgilere göre O merkezli çeyrek dairenin yarıçapı |OA| = 3 \text{ cm}'dir. Dolayısıyla r = 3’tür. Şekilde iki adet taralı alan bulunmaktadır. Bu taralı alanlara S_1 ve S_2 diyelim. Taralı olmayan beyaz bölgeye ise A diyelim.
- Çeyrek Dairenin Alanı: A + S_1
- DOB Dik Üçgeninin Alanı: A + S_2
Adım 2 — Alanların Eşitliğinin Analizi
Soruda taralı alanların birbirine eşit olduğu belirtilmiştir (S_1 = S_2). Eğer bu iki alan birbirine eşitse, her iki alana da aynı A bölgesini eklediğimizde sonuç değişmez:
A + S_1 = A + S_2
Bu eşitlik bize Çeyrek Dairenin Alanı ile DOB Dik Üçgeninin Alanının birbirine eşit olduğunu gösterir.
Adım 3 — Alan Hesaplamalarının Yapılması
- Çeyrek Daire Alanı: \frac{\pi \cdot 3^2}{4} = \frac{9\pi}{4}
- DOB Üçgeni Alanı: Üçgenin yüksekliği |OD| = r = 3 \text{ cm}'dir. Tabanı ise |OB| = |OA| + |AB| = 3 + x \text{ cm}'dir.Alan(DOB) = \frac{3 \cdot (3 + x)}{2}
Adım 4 — Denklemin Çözülmesi
Bulduğumuz iki alanı birbirine eşitleyelim:
\frac{9\pi}{4} = \frac{3 \cdot (3 + x)}{2}
Her iki tarafı 2 ile genişletelim:
\frac{9\pi}{2} = 3 \cdot (3 + x)
Her iki tarafı 3’e bölelim:
\frac{3\pi}{2} = 3 + x
x değerini yalnız bırakmak için 3’ü karşıya atalım:
x = \frac{3\pi}{2} - 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] x = \frac{3\pi}{2} - 3 \text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Alan Taşıma Metodu
- [Tanım:] Karmaşık şekillerde ortak bölgeler kullanılarak bilinmeyen alanların birbirine eşitlenmesi yöntemidir.
- [Bu problemde:] Taralı alanlar eşit olduğu için, ortak olan beyaz bölgeyi her iki şekle dahil ederek daire ve üçgen alanlarını birbirine eşitledik.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Parçalı Alan Hesaplamaya Çalışmak
- [Yanlış:] Taralı bölgelerin alanlarını integral veya karmaşık geometrik formüllerle ayrı ayrı hesaplamaya çalışmak.
- [Doğru:] Ortak bölgeyi kullanarak tüm şekillerin alanlarını eşitlemek.
- [Neden yanlış:] Ayrı ayrı hesaplamak çok daha uzun sürer ve işlem hatası yapma riskini artırır.
Bu çözümde \pi sayısını yaklaşık değer (3 veya 3,14) olarak almamız istendi mi, yoksa sonuç bu şekilde mi kalmalı? Cevabı netleştirmek için bir benzer soru daha çözmemi ister misin?