Soru:
O merkezli çemberde, [OK]⊥[AB], [OH]⊥[CD]
|OH| = 3 cm, |OK| = 4 cm, |AB| = 6 cm
Yukarıdaki verilere göre, |CD| kaç cm dir?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]
O merkezli çemberde, |CD| uzunluğu nedir?
Verilenler ve temel bilgisi:
- O merkezli çember
- [OK] \perp [AB], [OH] \perp [CD]
- |OH| = 3 \text{ cm}, |OK| = 4 \text{ cm}, |AB| = 6 \text{ cm}
- |AB| bir kiriş, OK onun orta dikmesi (çünkü OK \perp AB ve K AB üzerinde)
- Aynı şekilde, OH da CD kirişinin orta dikmesi
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Yarıçapı bulun
Çemberde OK \perp AB ve K AB üzerinde; OK=4 cm, AB=6 cm.
Kirişin orta dikmesi yarıçaptır ve K noktası AB’nin orta noktasıdır.
AB uzunluğu 6 cm ise,
AK = KB = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}
O, K, A üçgeninde dik üçgen var:
OA^2 = OK^2 + AK^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25
OA = 5 \text{ cm}
Buradan çemberin yarıçapı R = 5 \text{ cm}.
Adım 2 — Benzer üçgen uygulaması veya dik açıların kullanılması
OH \perp CD, H noktası CD üzerindedir ve OH=3 cm.
Çemberin yarıçapı R = 5 cm. OH da merkezin kiriş üzerindeki dikmesi.
Yarıçap ve merkezin kiriş üzerindeki dikmesi arasında dik üçgen var,
O - H - C üçgeninde:
OC^2 = OH^2 + HC^2
Yarıçap OC = 5 \text{ cm}, OH =3 \text{ cm} ise,
HC = \sqrt{OC^2 - OH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}
Adım 3 — CD uzunluğu bulunması
H, CD kirişinin orta noktasıdır çünkü OH kirişin orta dikmesi.
Bu durumda,
CD = 2 \times HC = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: |CD| = 8 \text{ cm} \Rightarrow \text{A şıkkı}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Kiriş orta dikmesi: Bir kirişin orta noktası üzerinden geçen ve kirişe dik olan doğru, aynı zamanda çemberin yarıçapı ile oluşturduğu dik üçgeni kullanarak bütün ilgili uzunluklar bulunabilir.
- Yarıçap: Merkezden çevreye çizilen aynı mesafedeki noktalara olan doğru parçalarıdır, eşit uzunluktadır.
- Dik üçgen ve Pisagor teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir; bu problemde önemli.
Sık yapılan hata:
- Kiriş orta dikmesinin yarıçap olduğunu unutmak ya da yanlışlıkla uzunluğu toplam kiriş saymak.
- Merkezin kirişe olan dikmesinin orta nokta olduğunu unutmak.
Başka bir problemde benzer bir örnek istersen, sana seve seve yardımcı olurum! Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
O merkezli çemberde, [OK]⊥[AB], [OH]⊥[CD] |OH| = 3 cm, |OK| = 4 cm, |AB| = 6 cm. Yukarıdaki verilere göre, |CD| kaç cm dir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Çemberde bir korde olan dik uzaklık ile yarıçap arasındaki ilişki:
r^{2}=d^{2}+\left(\frac{\text{kord}}{2}\right)^{2}
( r: yarıçap, d: merkezin korde dik uzaklığı )
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Yarıçapı bul
AK uzunluğu (kordun yarısı):
AK=\frac{|AB|}{2}
AK=\frac{6}{2}
AK=3
OA (yarıçap r) için Pisagor:
OA^{2}=OK^{2}+AK^{2}
OA^{2}=4^{2}+3^{2}
OA^{2}=16+9
OA^{2}=25
OA=5
Adım 2 — CD uzunluğunu bul
Kord CD için formül:
\left(\frac{|CD|}{2}\right)^{2}=r^{2}-OH^{2}
\left(\frac{|CD|}{2}\right)^{2}=5^{2}-3^{2}
\left(\frac{|CD|}{2}\right)^{2}=25-9
\left(\frac{|CD|}{2}\right)^{2}=16
\frac{|CD|}{2}=4
|CD|=8
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pisagor Teoremi
- Tanım: Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir.
- Bu problemde: Yarıçapı bulmak için OK ve AK dik kenarları kullanıldı.
2. Merkezden korde dik uzaklık
- Tanım: Merkez ile korde arasındaki dik uzaklık, kordinin yarısı ile yarıçap arasındaki dik üçgende kullanılır.
- Bu problemde: |CD|'yi bulmak için merkez-kord uzaklığı OH kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yarımdan kaçınma
- Yanlış: AB’yi doğrudan yarıçap üçgeninde kullanmak.
- Doğru: AB’nin yarısı (AK) alınmalıdır.
- Neden yanlış: Kordun yarısı, merkezden kordun orta noktasına olan yatay kenarı oluşturur.
- Düzeltme: Önce AK = AB/2 hesaplanmalı.
CEVAP: |CD| = 8 cm (A şıkkı)
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!